Induksi Matematika: Pengertian dan Contoh Penerapannya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 3 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarIstilah induksi matematika banyak disalahartikan sebagai suatu metode pencarian rumus. Padahal, induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian.
Induksi matematika adalah suatu metode dalam ilmu matematika yang berhubungan dengan pembuktian suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.
Meskipun terlihat rumit, induksi matematika dapat diterapkan dalam kasus-kasus tertentu. Untuk memahami induksi matematika lebih lanjut, simak penjelasan di bawah ini.
Pengertian Induksi Matematika
Menurut Drs. Sukirman, M.Pd. dalam modul Induksi Matematika dan Teorema Binomial, induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian dari banyak teorema dalam teori bilangan ataupun dalam materi matematika lainnya.
Jika ditelisik dari cacatan sejarah, perkembangan metode induksi matematika dipelopori oleh dua ilmuwan bernama R. Dedekind dan G. Peano.
Untuk memahami induksi matematika, perhatikan contoh pernyataan matematika di bawah ini.
1 + 2 + 3 ......... + n = 1/2 x n ( n + 1), untuk setiap bilangan asli n.
Melihat pernyataan di atas, apakah pernyataan tersebut bersifat benar? Pertanyaan ini dapat diselesaikan dengan cara subtitusi angka n dalam pernyataan itu dengan sembarang bilangan asli.
Berikut cara pengerjaannya:
Apabila n = 1, pernyataan itu menjadi 1 = 1/2 . 1 (1 + 1) atau 1 = 1, maka pernyataan di atas benar.
Apabila n = 2, pernyataan itu menjadi 1+ 2 = 1/2 . 2(2 + 1) atau 3 = 3, maka pernyataan di atas benar.
Apabila n = 3, pernyataan itu menjadi 1 + 2 + = 1/2 . 3 (3 + 1) atau 6 = 6, maka pernyataan di atas benar.
Contoh Penerapan Metode Induksi Matematika
Dikutip dari Induksi Matematika yang disusun oleh Muhammad Fadhil, metode induksi matematika dapat diterapkan dalam beberapa materi matematika, salah satunya pada barisan bilangan.
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola-pola tertentu. Barisan bilangan biasanya dapat membentuk sebagai berikut:
U1, U2,U3, ..............Un.
Keterangan:
U1 = suku ke-1 barisan
U2 = suku ke-2 barisan
U3 = suku ke-3 barisan
Un = suku ke-n barisan
Untuk memahami penerapan metode induksi dalam pembuktian barisan bilangan, simak contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Buktikan bahwa suku ke-n barisan bilangan 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ….adalah Un = 1/2 (n^2 + n). (ket: ^ = pangkat)
Penyelesaian
Langkah dasar:
Masukkan urutan suku pada persamaan yang terdapat di soal. Maka hasilnya ialah:
P(1) = U1 = 1/2 ( 1^2 + 1 ) = 1
P(2) = U2 = 1/2 ( 2^2 + 2 ) = 3
P(3) = U3 = 1/2 ( 3^2 + 3 ) = 6
P(4) = U4 = 1/2 ( 4^2 + 4 ) = 10
P(5) = U5 = 1/2 ( 5^2 + 5 ) = 15
P(6) = U6 = 1/2 ( 6^2 + 6 ) = 21
P(7) = U7 = 1/2 ( 7^2 + 7 ) = 28
Langkah induksi:
Jika n = k, maka:
P(k) = Uk = 1/2 (k^ 2 + k)
Jika n = k + 1, maka:
P(k + 1 ) = Uk+1 = 1/2 ((k + 1)^ 2 + (k + 1))
Berdasarkan kedua langkah di atas, dapat disimpulkan bahwa P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6), P(7), maka P(k) dan P(k + 1 ) juga benar.
(SAI)