Identitas Euler: Persamaan Paling Cantik dan Unik di Matematika, Kok Bisa?

Leonhard Euler | Sumber: https://ratu.ai/biografi-leonhard-euler/

Identitas Euler (Euler’s Identity), yang biasa dikenal sebagai persamaan Euler, merupakan sebuah persamaan yang sering ditemukan terutama dalam lingkup matematika. Konon katanya disebut sebagai persamaan paling cantik di matematika, benarkah? Di dalamnya terdapat gabungan beberapa konstanta dasar matematika dan memiliki interpretasi matematika dan fisika yang menarik. Bahkan Richard Feynmen (fisikawan Amerika) menyebut persamaan ini sebagai “our jewel” yang berarti permata kita.

Identitas Euler merupakan suatu persamaan dalam matematika yang dirumuskan sebagai,

Identitas Euler | Sumber : https://www.livescience.com/51399-eulers-identity.html

Persamaan ini menghubungkan lima konstanta dasar matematika, yaitu,

Dalam persamaan Euler juga terdapat operasi dasar aritmatika, seperti penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan (eksponensial) yang masing-masing tepat muncul satu kali saja.

Sekilas, mungkin persamaan ini tampak aneh atau sulit dipahami, karena bagaimana bisa suatu bilangan irrasional dipangkatkan dengan bilangan irrasional lain, lalu dikalikan dengan bilangan imajiner (i) menghasilkan kehampaan atau nol. Lalu bagaimana sang penemu, Leonhard Euler (matematikawan Swiss), bisa menciptakan persamaan ini?

Pembuktian

Deret Taylor merupakan satu-satunya alat pegangan untuk mengetahui algoritma dalam merumuskan Identitas Euler. Deret Taylor merupakan cara untuk mengaproksimasi suatu fungsi matematika menjadi polinomial dengan jumlah suku tak terbatas yang dihitung dari turunan fungsi pada satu titik. Untuk mengetahui lebih lanjut, deret Taylor dirumuskan sebagai,

Deret Taylor | Sumber : Dokumen Pribadi (CamScanner)

Jika nilai a=0, maka deret yang diperoleh dinamakan Deret Maclaurin. Jadi, Deret Maclaurin dapat dirumuskan sebagai,

Deret Maclaurin | Sumber : Dokumen Pribadi (CamScanner)

Kita bisa menerapkan dan mengambil suatu fungsi, seperti f(x)=e^x untuk disubstitusikan ke persamaan Deret Maclaurin. Sebelum itu kita perlu tahu sifat diferensial dari fungsi tersebut.

Sifat Diferensial Fungsi Eksponen | Sumber : Dokumen Pribadi (CamScanner)

Maka akan didapatkan sebuah formula, apabila kita menyubstitusikan bentuk diferensial di atas pada persamaan Deret Maclaurin.

Deret Maclaurin pada Fungsi Eksponen | Sumber : https://jagostat.com/kalkulus2/deret-taylor-dan-maclaurin

Begitu juga dengan fungsi trigonometri, seperti f(x)=sin⁡ x dan f(x)=cos ⁡x. Maka akan didapatkan pula bentuk persamaan Deret Maclaurin yang mirip deret f(x)=e^x. Berikut formulanya,

Deret Maclaurin pada Fungsi Trigonometri | Sumber : https://jagostat.com/kalkulus2/deret-taylor-dan-maclaurin

Ketiga deret di atas, mulai dari deret fungsi eksponensial hingga fungsi trigonometri, terlihat mirip, bukan? Perlu diketahui pula bahwa deret fungsi eksponensial merupakan gabungan dari deret fungsi sinus dan cosinus dengan tanda yang berbeda. Lalu bagaimana mereka bisa bersatu untuk membentuk Identitas Euler?

Kita bisa mengubah pangkat dari fungsi eksponensial dengan ix, sehingga f(x)=e^x menjadi f(x)=e^(ix). Dari perubahan tersebut, bentuk deret fungsi eksponensial akan menjadi,

Deret Maclaurin pada Fungsi Eksponen | Sumber : Dokumen Pribadi (CamScanner)

Perlu kita cermati lagi, bahwa bentuk deret fungsi eksponensial merupakan gabungan dari deret fungsi sinus dan cosinus. Maka kita bisa ubah posisi elemen-elemen yang ada di dalam deret tersebut.

Hubungan Deret Maclaurin Fungsi Eksponen dan Fungsi Trigonometri | Sumber : Dokumen Pribadi (CamScanner)

Pada tahap terakhir, Identitas Euler akan muncul ketika kita menyubstitusikan x=π. Maka akan didapat,

Hubungan Deret Maclaurin Fungsi Eksponen dan Fungsi Trigonometri | Sumber : Dokumen Pribadi (CamScanner)

Wow, sangat menarik, bukan? Bahkan persamaan ini terlihat sederhana, elegan, unik, dan pastinya tidak terlihat rumit.

Dengan meneliti identitas ini, kita tidak hanya memahami lebih dalam tentang bilangan, tetapi juga mendapatkan pengetahuan tentang keindahan dan keterkaitan dalam ilmu yang kompleks ini. Seiring dengan kemajuan dalam penelitian matematika dan fisika, Identitas Euler akan terus dikenang sebagai simbol dari keindahan yang dapat ditemukan dalam angka dan rumus.