Memahami Hidrodinamika Israel-Stewart pada Ruang-Waktu yang Mengembang

Illustrasi Artistik Pengembangan Ruang-Waktu (Gambar dibuat oleh Nano Banana AI)

Alam semesta pada fase sangat awal diasumsikan homogen dan isotropik pada skala terbesar. Sifat ini diterjemahkan secara matematis melalui metrik Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, yang memasukkan faktor skala sebagai fungsi waktu kosmik. Faktor skala ini menentukan jarak fisik antar titik pada setiap saat. Laju perubahan relatif faktor skala terhadap waktu didefinisikan sebagai parameter Hubble, yang nilainya sangat besar pada era awal dan menurun seiring ekspansi. Fluida yang mengisi alam semesta saat itu adalah Plasma Kuark-Gluon, yang pada suhu di atas transisi fasa kromodinamika kuantum berperilaku sebagai medium dengan derajat kebebasan relativistik. Kepadatan energi dan tekanan fluida ini dihubungkan oleh persamaan keadaan yang mendekati radiasi murni, tetapi penyimpangan kecil dari hubungan linier tersebut menjadi sumber utama fenomena disipatif.

Dalam relativitas umum, fluida digambarkan oleh tensor energi-momentum yang harus memenuhi persamaan kekekalan kovarian, yang ekuivalen dengan persamaan Euler relativistik untuk fluida ideal. Namun, ketika fluida mengalami ekspansi cepat, gradien kecepatan empat menimbulkan tegangan internal yang tidak dapat diabaikan. Tegangan ini muncul dalam bentuk tegangan geser, tekanan bulk, dan fluks kalor. Pada latar FLRW yang homogen, fluks kalor hilang karena simetri, dan tegangan geser juga lenyap akibat isotropi ruang. Yang tersisa hanyalah tekanan bulk, yaitu bagian isotropik dari tensor tegangan disipatif yang muncul akibat perubahan volume fluida. Tekanan bulk ini menjadi variabel dinamis yang paling relevan dalam kosmologi awal.

Dengan hanya tekanan bulk yang berperan sebagai satu-satunya sumber disipasi di ruang-waktu simetris, maka persamaan yang mengatur evolusi tekanan bulk itu sendiri harus dirumuskan secara kausal, yang membawa kita pada struktur relaksasi orde kedua.

Persamaan Relaksasi untuk Tekanan Bulk

Hidrodinamika standar Navier-Stokes relativistik mengasumsikan bahwa tekanan bulk selalu sebanding dengan laju ekspansi volume, dengan konstanta proporsionalitas adalah viskositas bulk. Asumsi ini menghasilkan persamaan aljabar yang disebut hubungan konstitutif orde pertama. Namun, hubungan ini memiliki kelemahan mendasar yaitu ia meramalkan bahwa sinyal disipatif merambat dengan kecepatan tak hingga. Secara fisik, ini berarti bahwa jika terjadi perubahan mendadak dalam laju ekspansi, tekanan bulk akan menyesuaikan diri secara instan di seluruh ruang, yang melanggar prinsip kausalitas relativistik. Untuk memperbaiki cacat ini, Israel dan Stewart memperkenalkan persamaan diferensial orde dua yang mengandung turunan waktu dari tekanan bulk itu sendiri.

Persamaan relaksasi Israel-Stewart untuk tekanan bulk memiliki bentuk yang memuat tiga suku utama. Suku pertama adalah turunan kovarian waktu dari tekanan bulk dikalikan dengan waktu relaksasi. Suku kedua adalah tekanan bulk itu sendiri. Suku ketiga adalah suku sumber yang sebanding dengan negatif dari viskositas bulk dikalikan dengan laju ekspansi volume. Selain itu, terdapat suku tambahan yang melibatkan perkalian tekanan bulk dengan laju ekspansi, yang muncul karena kebutuhan agar persamaan tetap kovarian dan konsisten dengan hukum kedua termodinamika. Waktu relaksasi dalam persamaan ini memiliki makna fisis yang jelas: ia adalah skala waktu yang dibutuhkan oleh medium untuk mendekati keadaan keseimbangan termodinamika lokal setelah mengalami gangguan.

Nilai waktu relaksasi tidak dapat ditentukan secara sembarang. Ia harus memenuhi ketaksamaan yang melibatkan viskositas bulk dan entalpi fluida. Ketaksamaan ini muncul dari analisis kestabilan linier dan menjamin bahwa kecepatan perambatan mode disipatif selalu lebih kecil daripada kecepatan cahaya. Dalam batas di mana waktu relaksasi mendekati nol, persamaan Israel-Stewart mereduksi menjadi hubungan Navier-Stokes. Dalam batas sebaliknya, ketika waktu relaksasi sangat besar dibandingkan skala waktu ekspansi, tekanan bulk berperilaku sebagai derajat kebebasan dinamis yang hampir bebas, dan disipasi menjadi tidak efisien. Kedua batas ini memberikan gambaran lengkap tentang perilaku medium di berbagai rezim kosmologis.

Setelah persamaan relaksasi ini ditetapkan, langkah selanjutnya adalah menggabungkannya dengan dinamika ekspansi kosmik, sehingga terbentuk sistem tertutup yang menghubungkan tekanan bulk, kepadatan energi, dan faktor skala secara simultan.

Kopling dengan Ekspansi Kosmik dan Persamaan Evolusi Gabungan

Ketika persamaan relaksasi Israel-Stewart digabungkan dengan persamaan kekekalan energi dan persamaan Friedmann yang mengatur faktor skala, diperoleh sistem tertutup dari tiga persamaan diferensial biasa dalam waktu kosmik. Variabel-variabelnya adalah faktor skala, kepadatan energi, dan tekanan bulk. Sistem ini bersifat non-linier karena adanya suku perkalian antara tekanan bulk dengan laju ekspansi, serta karena persamaan keadaan yang mungkin bergantung pada suhu dan tekanan bulk. Dalam regime relativistik ekstrem, kepadatan energi mendominasi tekanan ekuilibrium, tetapi tekanan bulk dapat mencapai nilai yang sebanding dengan kepadatan energi itu sendiri jika waktu relaksasi dan viskositas bulk berada pada rentang nilai tertentu yang ditentukan oleh teori medan kuantum pada suhu hingga.

Prosedur standar untuk menganalisis sistem ini adalah dengan melakukan penskalaan variabel menggunakan parameter Hubble sebagai satuan frekuensi alami. Variabel tekanan bulk dinormalkan terhadap kepadatan energi, dan waktu dinormalkan terhadap konstanta Hubble. Dalam variabel ternormalkan ini, persamaan evolusi mengambil bentuk yang hanya bergantung pada dua parameter tak berdimensi: rasio waktu relaksasi terhadap waktu Hubble, dan rasio viskositas bulk terhadap entropi dikalikan suhu. Kedua parameter ini menentukan seluruh perilaku kualitatif sistem. Analisis titik tetap menunjukkan bahwa sistem memiliki titik ekuilibrium yang sesuai dengan fluida ideal, dan titik tetap lainnya yang sesuai dengan keadaan disipatif stasioner, di mana tekanan bulk mencapai nilai konstan dalam skala waktu kosmik.

Stabilitas linier di sekitar titik-titik tetap tersebut ditentukan oleh nilai eigen dari matriks Jacobi. Untuk rentang parameter yang secara fisik masuk akal, semua nilai eigen memiliki bagian real negatif, yang berarti bahwa gangguan kecil akan mereda secara eksponensial. Namun, jika parameter waktu relaksasi terlalu kecil atau terlalu besar, sistem dapat memasuki regime osilasi teredam atau bahkan regime tak stabil. Kondisi batas untuk stabilitas hiperbolik diperoleh dari persamaan karakteristik yang merupakan polinomial kubik dalam frekuensi. Syarat bahwa semua akar polinomial memiliki bagian real negatif menghasilkan dua ketaksamaan yang melibatkan ketiga parameter sistem. Ketaksamaan ini membentuk wilayah dalam ruang parameter yang disebut wilayah stabilitas, dan wilayah ini telah dipetakan secara numerik untuk berbagai pilihan persamaan keadaan.

Dengan mengetahui titik-titik tetap dan wilayah stabilitas sistem gabungan ini, kita kini dapat menghitung besaran turunan yang paling kritis, yaitu laju produksi entropi yang dihasilkan oleh tekanan bulk selama seluruh fase ekspansi.

Produksi Entropi dan Laju Disipasi dalam Koordinat Konformal

Salah satu besaran paling fundamental yang dapat dihitung dari solusi sistem Israel-Stewart adalah laju produksi entropi lokal. Dalam relativitas umum, divergensi empat-vektor arus entropi sama dengan sumber disipatif yang merupakan hasil kali antara fluks termodinamika dan gaya termodinamika. Untuk fluida dengan tekanan bulk, sumber entropi sebanding dengan kuadrat tekanan bulk dibagi hasil kali viskositas bulk dan suhu lokal. Karena tekanan bulk sendiri berevolusi menurut persamaan relaksasi, laju produksi entropi juga menjadi fungsi waktu yang tidak sederhana. Pada fase awal ketika ekspansi paling cepat, tekanan bulk mencapai nilai maksimum, dan produksi entropi juga mencapai puncaknya. Setelah itu, tekanan bulk mereda menuju nol atau menuju nilai sisa yang kecil, dan produksi entropi menurun.

Untuk memudahkan analisis pada latar FLRW yang mengembang, fisikawan sering menggunakan waktu konformal, yang didefinisikan melalui integral dari kebalikan faktor skala. Dalam koordinat konformal, metrik menjadi datar dikalikan dengan faktor skala kuadrat, sehingga persamaan gelombang untuk gangguan linier mengambil bentuk yang lebih sederhana. Dalam koordinat ini, persamaan Israel-Stewart untuk tekanan bulk dapat ditulis ulang sebagai persamaan osilator harmonik teredam dengan koefisien redaman yang bergantung pada waktu. Koefisien redaman ini mengandung kontribusi dari viskositas bulk dan juga dari turunan faktor skala terhadap waktu konformal. Pendekatan ini sangat berguna untuk menghitung spektrum daya dari fluktuasi kepadatan yang dihasilkan oleh disipasi viskos pada era inflasioner atau era pasca-inflasi.

Hubungan antara produksi entropi dan ekspansi kosmik memiliki konsekuensi langsung terhadap evolusi suhu. Dalam fluida ideal, suhu menurun seperti kebalikan dari faktor skala. Dalam fluida disipatif, produksi entropi menambahkan panas ke dalam medium, sehingga laju pendinginan menjadi lebih lambat daripada kasus ideal. Perlambatan pendinginan ini dapat dimaknai secara matematis sebagai pergeseran relasi adiabatik menuju relasi non-adiabatik. Besarnya pergeseran ini ditentukan oleh integral waktu dari laju produksi entropi sepanjang sejarah ekspansi. Integral ini dapat dihitung secara analitik untuk kasus-kasus khusus di mana viskositas bulk dan waktu relaksasi diasumsikan konstan atau mengikuti hukum skala tertentu terhadap suhu.

Setelah laju produksi entropi dan efeknya terhadap pendinginan kosmik terpetakan, pertanyaan mendasar yang perlu dijawab adalah apakah seluruh formalisme ini benar-benar memenuhi tuntutan kausalitas absolut dan stabilitas termodinamika, yang menjadi ciri pembeda utama hidrodinamika Israel-Stewart dibandingkan pendekatan sebelumnya.

Kausalitas dan Kecepatan Sinyal dalam Medium yang Mengembang

Aspek yang paling menentukan dari formulasi Israel-Stewart adalah sifat kausalnya. Untuk membuktikan kausalitas, para perumusnya menggunakan teori sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik. Dalam ruang-waktu lengkung FLRW, metodenya adalah dengan mengubah sistem menjadi bentuk simetris, di mana matriks yang mengalikan turunan waktu bersifat definit positif dan matriks yang mengalikan turunan ruang memiliki nilai eigen yang terbatas. Proses simetrisasi ini memerlukan pemilihan variabel yang tepat, yaitu kombinasi linier dari tekanan bulk, gradien suhu, dan laju ekspansi. Setelah simetrisasi, kecepatan karakteristik dari sistem dapat dibaca langsung dari nilai eigen matriks spasial. Kondisi bahwa semua nilai eigen tersebut berada dalam interval antara minus satu dan satu dalam satuan kecepatan cahaya adalah jaminan bahwa sistem memenuhi kausalitas absolut.

Pada latar FLRW yang homogen, kecepatan sinyal tidak bergantung pada posisi, tetapi dapat bergantung pada waktu melalui parameter Hubble dan suhu. Namun demikian, selama ketaksamaan yang melibatkan waktu relaksasi dan viskositas bulk terpenuhi, kecepatan maksimum tetap di bawah kecepatan cahaya pada setiap saat. Hal ini penting karena jika kecepatan karakteristik melewati kecepatan cahaya pada suatu epoch, maka kerucut cahaya efektif dari medium disipatif akan lebih lebar dari kerucut cahaya gravitasi, yang akan menimbulkan paradoks kausalitas. Penelitian tentang batas ini menunjukkan bahwa untuk QGP pada suhu di atas transisi fasa, kecepatan karakteristik maksimum berada pada urutan 0,4 hingga 0,6 kali kecepatan cahaya, sehingga memberikan margin keamanan yang cukup besar.

Selain kausalitas, sistem Israel-Stewart juga memenuhi kondisi kestabilan termodinamika. Kondisi ini dirumuskan sebagai persyaratan bahwa fluktuasi kecil dalam tekanan bulk tidak menyebabkan pertumbuhan entropi negatif. Dalam kerangka linier, kondisi ini diterjemahkan menjadi definit positif dari matriks kekakuan termodinamika, yang merupakan turunan kedua dari potensial termodinamika terhadap variabel-variabel ekstensif. Untuk fluida dengan tekanan bulk, matriks ini mendapat tambahan kontribusi dari turunan viskositas terhadap suhu dan kepadatan. Kontribusi ini memastikan bahwa setiap peningkatan tekanan bulk yang tidak wajar akan segera dikompensasi oleh peningkatan produksi entropi, sehingga sistem secara alami kembali ke keadaan stabil. Dengan demikian, seluruh struktur matematika Israel-Stewart bisa memenuhi tuntutan kausalitas relativistik, juga konsisten dengan hukum kedua termodinamika dalam bentuk lokalnya yang paling ketat.

Semoga Bermanfaat dan Terima Kasih

Illustrasi Artistik Viskositas Kosmik Dan Kausalitas Relativistik Pada Plasma Awal Alam Semesta (Gambar dibuat oleh Nano Banana AI)