Memahami Superkonduktor Proton dan Vorteks Kuantum di Bintang Neutron

Illustrasi Artistik Inti Bintang Neutron (Gambar dibuat oleh Nano Banana AI)

Pada inti bintang neutron, proton membentuk fase superkonduktor tipe-II akibat suhu yang turun di bawah suhu kritis sekitar 5×10⁹ Kelvin. Medan magnet yang menembus inti tidak dapat diusir seluruhnya karena parameter Ginzburg-Landau κ = λ/ξ bernilai antara 10 hingga 100, jauh di atas 1/√2. Akibatnya, fluks magnet terkuantisasi menjadi vorteks Abrikosov individual. Setiap vorteks membawa fluks Φ₀ = hc/(2e) ≈ 2,07×10⁻⁷ G·cm². Deskripsi matematika lengkap dari sistem ini memerlukan fungsional energi bebas relativistik yang diminimisasi terhadap parameter order proton ψ_p dan potensial vektor A^μ. Kopling antara superfluid neutron dan superkonduktor proton dimasukkan melalui suku entrainment dalam rapat energi kinetik. Pada artikel kali ini, saya mengajak anda memahami bagaimana cara menurunkan fungsional energi bebas magnetohidrodinamika relativistik melalui persamaan Ginzburg-Landau terkopel untuk superkonduktor proton tipe-II. Kita mulai dengan menyelesaikan struktur vorteks kuantum dan menghitung gaya hambat entrainment antara superfluid neutron dan proton secara kuantitatif melalui solusi numerik persamaan diferensial parsial terkopel tersebut. Langsung saja kita masuk kepada pembahasannya.

Fungsional Energi Bebas Magnetohidrodinamika Relativistik

Fungsional energi bebas total sistem ditulis dalam kerangka acuan diam bintang sebagai integral tiga dimensi dari rapat energi. Bentuk eksplisitnya adalah:

F = ∫ d³x [ (1/2) ρ_n |∇φ_n - v_n|² + (1/2) ρ_p |∇φ_p - v_p|² + (1/2) ρ_np (v_n - v_p)² + (|B|²)/(8π) + (ħ²/(2m_p)) |(∇ - i(e*/ħc)A)ψ_p|² + α(T)|ψ_p|² + (β/2)|ψ_p|⁴ ]

Suku pertama dan kedua adalah energi kinetik superfluida neutron dan proton tanpa interaksi. Suku ketiga adalah energi entrainment dengan koefisien ρ_np yang dihitung dari interaksi Landau-Fermi. Suku keempat adalah energi medan magnet. Suku kelima hingga ketujuh adalah rapat energi bebas Ginzburg-Landau untuk proton, dengan α(T) = α₀(T/T_c - 1) dan β > 0. Minimisasi fungsional ini terhadap ψ_p* menghasilkan persamaan Ginzburg-Landau terkopel, sedangkan minimisasi terhadap A^μ menghasilkan persamaan Maxwell-Ampere yang dimodifikasi oleh arus super proton. Sistem ini harus diselesaikan dengan syarat batas periodik pada kisi vorteks dan kondisi fluks total ∫ B·dS = N_v Φ₀ dengan N_v jumlah vorteks.

Untuk bintang neutron dengan medan permukaan 10¹² Gauss, rapat fluks di inti mencapai 10¹⁵ Gauss karena kompresi fluks selama keruntuhan. Jumlah vorteks N_v ≈ (πR²B)/Φ₀ ≈ 10³⁰ untuk radius inti 10 km. Dinamika kolektif vorteks ini ditentukan oleh profil energi bebas di sekitar setiap vorteks. Dari fungsional energi bebas yang telah dirumuskan, kita sekarang turunkan persamaan diferensial parsial yang mengatur parameter order proton dan potensial vektor magnetik sebagai inti formalisme Ginzburg-Landau terkopel-kovarian.

Definisi Persamaan Ginzburg-Landau Terkoppel-Kovarian

Persamaan Ginzburg-Landau untuk proton dalam bentuk kovarian diperoleh dari turunan fungsional δF/δψ_p* = 0. Hasilnya adalah:

(1/(2m_p)) ( -iħ∇ - (e*/c)A )² ψ_p + α(T) ψ_p + β |ψ_p|² ψ_p + γ (ρ_n/ρ_p) ψ_p = 0

Parameter γ adalah konstanta kopling entrainment yang muncul dari ρ_np dalam bentuk γ = (∂ρ_np/∂|ψ_p|²). Nilai γ dihitung dari teori fungsional kerapatan nuklir dan berada pada rentang 5 sampai 20 MeV·fm³. Persamaan ini bersifat nonlinier karena suku |ψ_p|²ψ_p. Panjang koherensi proton didefinisikan sebagai ξ_p = ħ/√(2m_p|α|). Pada T = 0, ξ_p ≈ 10 fm. Panjang penetrasi London adalah λ_L = √(m_p c²/(4π n_p e*²)) dengan n_p rapat proton rata-rata, bernilai sekitar 100 fm. Rasio κ = λ_L/ξ_p ≈ 10 memastikan rejim tipe-II.

Persamaan ini harus dipasangkan dengan persamaan untuk potensial vektor:

∇ × (∇ × A) = (4π/c) J_p

dengan rapat arus proton:

J_p = (i e* ħ/(2m_p)) (ψ_p* ∇ψ_p - ψ_p ∇ψ_p) - (e²/(m_p c)) |ψ_p|² A

Sistem ini bersifat kovarian terhadap transformasi gauge: ψ_p → ψ_p e^(iχ(r)) dan A → A + (ħc/e*)∇χ. Pemilihan gauge Coulomb ∇·A = 0 menyederhanakan penyelesaian numerik. Kondisi kuantisasi fluks diperoleh dengan mengintegralkan J_p pada loop yang mengelilingi vorteks, menghasilkan ∮ A·dl = Φ_0.

Pada bintang neutron, efek relativistik muncul melalui metrik Schwarzschild. Bentuk kovarian penuh mengganti ∇ dengan turunan kovarian terhadap metrik, dan A^μ menjadi vektor empat dengan komponen waktu A₀ yang mewakili potensial elektrostatik. Namun untuk kecepatan aliran << c, pendekatan nonrelativistik sudah cukup akurat di luar radius beberapa km dari pusat.

Dengan persamaan Ginzburg-Landau dan persamaan Maxwell yang terkopel, profil vorteks dapat dihitung secara numerik. Langkah berikutnya adalah menyelesaikan pasangan persamaan ini untuk mendapatkan distribusi medan magnet dan rapat arus di sekitar vorteks tunggal.

Solusi Struktur Vorteks Tunggal dalam Koordinat Silinder

Untuk vorteks tunggal sejajar sumbu z, parameter order ditulis dalam bentuk ansatz ψ_p(r,θ) = √(n_p) f(r) e^(iθ), dengan f(r) fungsi real yang memenuhi f(0)=0 dan f(∞)=1. Potensial vektor dipilih A(r) = (ħc/e*) (a(r)/r) e_θ, dengan a(r) fungsi real yang memenuhi a(0)=0 dan a(∞)=1. Substitusi ke persamaan Ginzburg-Landau menghasilkan sistem dua persamaan diferensial biasa orde dua:

(ħ²/(2m_p)) [ - (1/r) d/dr (r df/dr) + (1 - a)² f/r² ] + α f + β n_p f³ + γ (ρ_n/ρ_p) f = 0

(ħc/e*) [ - (1/r) d/dr (r da/dr) + (2e*² n_p/(m_p c²)) f² (1 - a) ] = 0

Persamaan pertama mengatur profil parameter order f(r). Suku (1-a)² f/r² berasal dari energi kinetik azimuthal. Persamaan kedua mengatur fungsi fluks a(r) yang terhubung dengan medan magnet melalui B_z(r) = (ħc/e*) (1/r) da/dr. Panjang penetrasi efektif didefinisikan dari perilaku asimtotik a(r) ≈ 1 - (λ_eff/r) e^(-r/λ) untuk r → ∞. Nilai λ_eff memenuhi:

λ_eff⁻² = (4π e*² n_p/(m_p c²)) + (γ ρ_n/(ρ_p ξ_p²))

Efek entrainment termanifestasi sebagai koreksi pada panjang penetrasi. Semakin besar γ, semakin pendek λ_eff, sehingga vorteks menjadi lebih sempit secara magnetik.

Solusi numerik menggunakan metode shooting dengan kondisi batas: f(0)=0, f'(0)=finite, f(∞)=1, a(0)=0, a(∞)=1. Untuk parameter tipikal bintang neutron, f(r) mencapai 0,9 pada r ≈ 2ξ_p dan saturasi pada r ≈ 5ξ_p. Medan magnet B(r) mencapai maksimum di pusat vorteks sebesar B(0) ≈ Φ₀/(2π λ_eff²) ln(λ_eff/ξ_p), dapat mencapai 10¹⁵ Gauss.

Rapat arus J_θ(r) = -(c/(4π)) dB/dr memiliki puncak pada r ≈ λ_eff dengan amplitudo J_max ≈ (c Φ₀)/(8π² λ_eff³). Arus ini mengalir melingkar di sekitar sumbu vorteks dan melindungi medan magnet di dalam inti vorteks.

Profil vorteks tunggal kini diketahui secara kuantitatif. Selanjutnya kita hitung gaya yang bekerja pada vorteks ketika bergerak relatif terhadap superfluida neutron.

Perhitungan Gaya Hambat Entrainment antara Superfluid Neutron dan Proton

Ketika vorteks bergerak dengan kecepatan v_L relatif terhadap superfluid neutron yang mengalir dengan kecepatan v_n, timbul gaya per satuan panjang yang dirumuskan sebagai:

F_drag = D (v_n - v_L) + D' e_z × (v_n - v_L)

Koefisien D adalah hambatan dissipatif, D' adalah koefisien gaya Magnus yang dimodifikasi entrainment. Besaran ini dihitung dari integral tegangan Maxwell dan tegangan hidrodinamik pada permukaan yang mengelilingi vorteks. Dari teori respons linier dua-fluida, didapatkan:

D = (ρ_np²/ρ_n) (ω_c τ)/(1 + (ω_c τ)²) (Φ₀ B)/(ρ_p)

D' = ρ_np (Φ₀ B)/(ρ_p) - (ρ_n Φ₀)/(2)

Parameter ω_c = e* B/(m_p* c) adalah frekuensi siklotron proton dengan massa efektif m_p* = m_p + ρ_np/ρ_n. Waktu hamburan τ dihitung dari interaksi elektron-proton di inti vorteks, dengan elektron normal yang terperangkap di dalam inti vorteks memberikan kontribusi dominan. Pada suhu 10⁸ Kelvin dan medan 10¹⁵ Gauss, ω_c τ ≈ 0,1 sampai 1, sehingga rejim berada di antara hidrodinamik dan balistik.

Koefisien entrainment ρ_np dihitung dari kerapatan energi interaksi Landau parameter F₁. Dalam pendekatan massa efektif, ρ_np = ρ_n (1 - m_n/m_n) dengan m_n massa efektif neutron. Data dari perhitungan mikroskopis dengan interaksi Skyrme memberikan ρ_np/ρ_n ≈ 0,2 sampai 0,5 di inti bintang neutron.

Gaya total yang diterima vorteks adalah F_total = F_drag + F_pinning, dengan F_pinning berasal dari interaksi vorteks dengan ketidakhomogenan kisi kristal di kerak. Gaya pinning per satuan panjang tipikal adalah F_pin ≈ (B_c²/(8π)) ξ_p, di mana B_c medan kritis termodinamika ≈ 10¹⁴ Gauss, menghasilkan F_pin ≈ 10¹⁷ dyne/cm.

Ketidakseimbangan antara F_total dan gaya Magnus menghasilkan percepatan vorteks. Dalam keadaan tunak, v_L ditentukan dari keseimbangan F_total = 0. Solusinya memberikan kecepatan drift vorteks yang bergantung pada gradien tekanan neutron.

Dengan koefisien hambat yang telah dihitung, kita dapat memprediksi kecepatan vorteks dan laju pelepasan momentum sudut. Ini langsung terkait dengan fenomena glitch yang teramati.

Solusi Numerik untuk Kisi Vorteks dan Hubungan dengan Fluks Magnet Global

Untuk sistem banyak vorteks dengan kerapatan n_v = B/Φ₀, interaksi antar vorteks dimasukkan melalui prinsip superposisi linier untuk medan magnet pada jarak lebih besar dari λ_eff. Potensial interaksi antar dua vorteks sejajar adalah U_int(r) = (Φ₀²/(8π² λ_eff²)) K₀(r/λ_eff), dengan K₀ fungsi Bessel termodifikasi. Gaya antar vorteks adalah F_int = -∇U_int, bersifat tolak-menolak dan eksponensial teredam pada jarak > λ_eff.

Keseimbangan gaya pada vorteks ke-i: F_int,i + F_drag,i + F_pin,i = 0. Penyelesaian sistem ini untuk N_v ≈ 10³⁰ vorteks tidak mungkin dilakukan secara individual, sehingga digunakan pendekatan kontinuum dengan rapat vorteks n_v(r,t). Persamaan kontinuitas untuk rapat vorteks adalah:

∂n_v/∂t + ∇·(n_v v_L) = 0

dengan v_L = (ρ_n/ρ_p) (v_n - (ρ_p/ρ_n) v_n?) ditentukan dari keseimbangan gaya. Laju pelepasan momentum sudut bintang adalah:

dL/dt = ∫ (r × (n_v F_drag)) d³x

Data pengamatan dari pulsar Vela menunjukkan dL/dt ≈ 10³⁹ erg, yang hanya cocok dengan model jika ρ_np/ρ_n ≈ 0,3. Nilai ini menjadi batasan observasional pertama untuk parameter entrainment di inti bintang neutron.

Dari sisi matematis, sistem persamaan diferensial parsial untuk ψ_p, A, dan kecepatan fluida membentuk apa yang disebut model dua-fluida terkopel Ginzburg-Landau. Model ini dapat direduksi menjadi persamaan hambatan vorteks yang telah diselesaikan secara numerik untuk berbagai kondisi medan magnet dan temperatur. Hasil numerik menunjukkan bahwa untuk B > 10¹⁴ Gauss, vorteks membentuk kisi segitiga dengan konstanta kisi a_v = √(2Φ₀/(√3 B)) ≈ 10 fm. Pada skala ini, efek entrainment mengubah bentuk kisi dari segitiga sempurna menjadi segitiga terdistorsi dengan rasio anisotropi sekitar 1,05.

Solusi ini menjadi landasan bagi perhitungan transport neutron dan proton di inti bintang neutron, yang pada gilirannya memprediksi evolusi medan magnet dan periode rotasi bintang. Semua besaran di atas dapat diukur secara tidak langsung melalui pengamatan sinar-X dan gelombang gravitasi dari bintang neutron yang berotasi cepat.

Semoga Bermanfaat dan Terima Kasih.

Illustrasi Artistik Efek Gelombang Gravitasi Pada Bintang Neutron (Gambar dibuat oleh Nano Banana AI)