Mengkaji Dinamika Kuantum Neutrino pada Transisi Fase Kolaps Inti Supernova

Illustrasi Artistik Terjadinya Kolaps Inti Supernova (Gambar dibuat oleh Nano Banana AI)

Kolaps inti supernova menghasilkan medium dengan gradien suhu dan densitas yang ekstrem. Pada radius sekitar sepuluh kilometer dari pusat, densitas baryon menurun dari beberapa kali densitas nuklir hingga di bawah densitas saturasi. Penurunan ini memicu transisi fase dari materi hadronik ke materi kuark-gluon atau ke fase pion terkondensasi, bergantung pada model persamaan keadaan. Neutrino yang diproduksi melalui reaksi lemah di dalam inti saat itu memiliki jalur bebas rata-rata yang lebih pendek dari radius bintang, sehingga mereka berinteraksi berulang kali sebelum keluar. Interaksi berulang ini mengubah komposisi flavor neutrino secara dinamis, tetapi juga mengacak fase kuantum relatif antar flavor. Hilangnya fase relatif inilah yang disebut dekoherensi, dan untuk mengukurnya secara kuantitatif, kita perlu menggunakan fungsi korelasi dua-titik yang dibangun dari operator medan neutrino.

Untuk melacak secara kuantitatif bagaimana fase relatif antar flavor memudar selama transisi fase berlangsung, para astrofisikawan perlu membangun kerangka matematis yang secara eksplisit menangani evolusi waktu dari semua korelasi kuantum tanpa mengasumsikan kesetimbangan termodinamika, dan kerangka itu adalah formalisme kontur waktu tertutup yang dikembangkan oleh Keldysh dan Schwinger.

Kerangka Kontur Waktu Tertutup untuk Sistem Non-Ekuilibrium

Sistem neutrino di dalam supernova tidak pernah mencapai kesetimbangan termodinamika karena waktu hamburan rata-rata berada pada orde sepuluh pangkat minus dua puluh tiga detik, sementara waktu perubahan makroskopis bintang berada pada orde milidetik. Rasio ini menghasilkan bilangan Knudsen yang jauh di atas satu, sehingga pendekatan hidrodinamik lokal tidak berlaku. Karena itu, formalisme yang digunakan harus secara eksplisit melacak evolusi temporal dari semua korelasi kuantum. Kontur waktu tertutup yang diperkenalkan oleh Keldysh dan dirumuskan ulang oleh Schwinger memberikan kerangka yang memenuhi syarat ini. Kontur ini terdiri dari dua cabang yaitu cabang maju dari waktu awal hingga waktu akhir, dan cabang mundur dari waktu akhir kembali ke waktu awal. Semua fungsi Green didefinisikan sepanjang kontur ini, dan pengurutan waktu di sepanjang kontur menggantikan pengurutan waktu biasa. Dengan cara ini, semua diagram Feynman yang melibatkan pertukaran energi dengan medium tetap memiliki interpretasi kausal yang jelas karena propagator selalu menghubungkan titik-titik yang terurut secara kronologis di sepanjang kontur.

Struktur kontur ini memungkinkan kita untuk memisahkan fungsi Green menjadi empat komponen real-time yang independen. Komponen retardasi dan lanjutan menggambarkan respons linear sistem terhadap gangguan eksternal, sedangkan komponen lesser dan greater menggambarkan distribusi statistik partikel dan lubang. Keempat komponen ini tidak bebas dimana mereka terhubung oleh relasi spektral yang disebut teorema fluktuasi-disipasi dalam bentuk umum. Untuk sistem non-ekuilibrium, relasi ini dapat ditulis secara aljabar menggunakan matriks struktur dua-dua di ruang Keldysh. Matriks ini memiliki bentuk yang sangat spesifik: komponen diagonalnya adalah fungsi retardasi dan lanjutan, sedangkan komponen off-diagonalnya adalah fungsi lesser dan greater.

Dalam praktik perhitungan, kontur waktu tertutup juga menyelesaikan masalah kondisi awal. Tanpa kontur ini, persamaan integro-diferensial untuk fungsi Green memerlukan pengetahuan tentang seluruh riwayat masa lalu. Dengan kontur tertutup, kondisi awal hanya diperlukan pada satu titik waktu, dan semua evolusi selanjutnya ditentukan oleh persamaan gerak yang bersifat Markovian dalam arti umum. Sifat Markovian ini tidak sempurna karena collision integral mengandung memori atas selisih waktu, tetapi memori itu terbatas pada skala waktu yang ditentukan oleh lebar spektral self-energy. Untuk supernova, lebar ini berada pada orde energi ikat nukleon, sehingga memori hanya bertahan sekitar sepuluh pangkat minus dua puluh dua detik. Ini jauh lebih pendek dari skala waktu hidrodinamik, sehingga aproksimasi memori pendek sering digunakan untuk mengurangi beban komputasi.

Setelah kontur waktu tertutup menetapkan kerangka kausal bagi sistem non-ekuilibrium, langkah berikutnya adalah mengekstrak besaran fisika yang terukur dari fungsi Green yang didefinisikan di sepanjang kontur tersebut, yaitu matriks densitas melalui komponen lesser-nya.

Definisi Operasional Matriks Densitas dari Fungsi Lesser

Fungsi lesser didefinisikan sebagai rata-rata ensemble dari produk operator medan dengan urutan tertentu yaitu operator kreasi di sebelah kiri dan operator anihilasi di sebelah kanan. Untuk sistem neutrino, fungsi lesser adalah besaran matriks dalam ruang flavor. Elemen diagonal matriks ini memberikan jumlah partikel untuk setiap flavor pada setiap titik ruang dan momentum. Elemen off-diagonal memberikan amplitudo superposisi antara dua flavor yang berbeda. Jika elemen off-diagonal hilang, sistem berada dalam campuran statistik yang tidak memiliki interferensi kuantum. Jika elemen off-diagonal memiliki fase yang terdefinisi dengan baik, sistem menunjukkan osilasi flavor yang koheren. Karena itu, fungsi lesser secara langsung memuat seluruh informasi yang diperlukan untuk memprediksi spektrum neutrino yang teramati di Bumi.

Transformasi Wigner dari fungsi lesser menghasilkan matriks densitas dalam ruang fase. Transformasi ini memetakan koordinat relatif ke momentum dan koordinat pusat massa ke posisi. Dalam limit klasik, transformasi Wigner menghasilkan distribusi partikel yang bergantung pada posisi dan momentum secara simultan, tetapi dengan koreksi kuantum yang muncul dari turunan orde tinggi dari fungsi gelombang. Koreksi ini penting ketika gradien potensial efektif besar dibandingkan dengan energi kinetik partikel. Dalam inti supernova, gradien potensial lemah mencapai nilai beberapa mega-elektronvolt per femtometer, yang cukup untuk menghasilkan koreksi non-adiabatik dalam propagasi neutrino. Karena itu, transformasi Wigner tidak dapat disederhanakan menjadi distribusi klasik tanpa kehilangan informasi tentang dekoherensi.

Matriks densitas hasil transformasi Wigner memiliki dimensi ruang fase enam dimensi ditambah waktu, dengan tambahan dimensi flavor sebanyak tiga kuadrat. Untuk setiap titik ruang, matriks ini berukuran tiga kali tiga dan komponennya bergantung pada momentum tiga dimensi. Jumlah total elemen yang harus disimpan adalah sembilan kali jumlah grid ruang kali jumlah grid momentum. Jika grid ruang memiliki seratus dua puluh delapan titik per dimensi dan grid momentum memiliki enam puluh empat titik per dimensi, total elemen mencapai sekitar tiga miliar. Setiap elemen bernilai kompleks dan harus disimpan dalam presisi ganda. Ini menghasilkan kebutuhan memori sekitar lima puluh gigabita untuk satu snapshot waktu, dan simulasi seribu snapshot membutuhkan akses memori berulang yang sangat intensif.

Dengan definisi operasional matriks densitas di ruang fase telah dirumuskan secara eksplisit, kita sekarang memerlukan persamaan dinamis yang menggerakkan fungsi lesser ini dari satu waktu ke waktu berikutnya, yang tidak lain adalah persamaan Kadanoff-Baym.

Struktur Persamaan Kadanoff-Baym untuk Fungsi Korelasi

Persamaan gerak untuk fungsi lesser dan greater diturunkan dari persamaan Dyson pada kontur waktu tertutup. Persamaan ini dikenal sebagai persamaan Kadanoff-Baym dan memiliki bentuk yang melibatkan konvolusi waktu sepanjang kontur. Ketika diekspansikan ke dalam komponen real-time, persamaan ini menghasilkan empat persamaan kopling yang melibatkan fungsi Green dan self-energy. Dua persamaan pertama menghubungkan fungsi retardasi dengan self-energy retardasi melalui persamaan Dyson biasa. Dua persamaan lainnya menghubungkan fungsi lesser dan greater dengan self-energy lesser dan greater melalui persamaan yang mengandung suku sumber dan suku redaman. Suku sumber berasal dari self-energy lesser dikalikan dengan fungsi greater, sedangkan suku redaman berasal dari self-energy greater dikalikan dengan fungsi lesser. Perbedaan antara kedua suku ini menentukan laju perubahan populasi partikel.

Dalam representasi ruang fase, persamaan Kadanoff-Baym mengambil bentuk yang lebih eksplisit. Sisi kiri persamaan memuat operator propagasi bebas yang sudah dimodifikasi oleh potensial rata-rata. Potensial rata-rata ini dihitung dari kontraksi rapat partikel yang diungkit dari fungsi lesser. Karena itu, persamaan ini bersifat non-linear dan harus diselesaikan secara self-konsisten. Sisi kanan persamaan memuat collision integral yang terdiri dari dua bagian. Bagian pertama adalah integral atas momentum dari self-energy lesser dikalikan fungsi greater. Bagian kedua adalah integral atas momentum dari self-energy greater dikalikan fungsi lesser. Kedua bagian ini memiliki tanda yang berlawanan, sehingga selisihnya menghasilkan laju bersih perubahan populasi. Untuk elemen off-diagonal, collision integral juga mengandung kontribusi dari self-energy off-diagonal, yang memungkinkan transfer koherensi antar flavor.

Self-energy yang muncul dalam persamaan ini dihitung dari diagram polarisasi vakum dalam medium. Untuk neutrino, diagram yang paling dominan adalah diagram gelombang pertukaran boson vektor dan skalar. Boson vektor diwakili oleh boson Z dan boson W bermuatan, sedangkan boson skalar diwakili oleh mode sigma dan mode pion di dalam medium. Setiap diagram tersebut memerlukan integral loop atas momentum internal, yang dalam medium banyak-partikel harus dihitung menggunakan fungsi Green yang sama. Ini menghasilkan sistem persamaan yang tertutup secara konseptual tetapi sangat berat secara komputasional. Untuk menyederhanakan, fisikawan sering menggunakan aproksimasi gradien-dipanjangkan, di mana ketergantungan posisi dianggap lambat dibandingkan dengan variasi momentum internal. Aproksimasi ini valid selama panjang gelombang neutrino lebih kecil dari skala ketidakhomogenan materi, yang dalam supernova ekstremitas dalam terpenuhi untuk neutrino dengan energi di atas sepuluh mega-elektronvolt.

Setelah persamaan Kadanoff-Baym menetapkan bagaimana self-energy dan collision integral menggerakkan evolusi fungsi Green, kita dapat menerapkannya secara khusus pada kondisi transisi fase untuk menghitung laju kontraksi elemen off-diagonal matriks densitas.

Mekanisme Kontraksi dan Dekohorensi pada Transisi Fase

Transisi fase materi leptonik dimulai ketika suhu turun di bawah suhu kritis atau ketika densitas baryon melintasi nilai kritis. Pada titik ini, massa efektif kuark atau pion berubah secara drastis dalam skala ruang yang sangat sempit. Perubahan massa efektif ini menghasilkan gradien potensial yang tajam pada skala beberapa femtometer. Neutrino yang melintasi gradien tajam ini mengalami perubahan indeks bias secara mendadak. Indeks bias neutrino bergantung pada flavor karena kopling lemah memiliki struktur isospin yang berbeda. Akibatnya, fase relatif antara dua flavor yang melewati gradien yang sama memperoleh tambahan yang bergantung pada energi dan sudut datang. Tambahan fase ini bervariasi dari satu neutrino ke neutrino lain karena spektrum energi mereka kontinu. Variasi ini, ketika dirata-ratakan atas ensemble, menghasilkan pemudaran eksponensial dari elemen off-diagonal matriks densitas.

Laju pemudaran ini dapat dihitung secara langsung dari bagian imajiner dari self-energy retardasi. Bagian imajiner self-energy retardasi dikenal sebagai lebar spektral dan berbanding lurus dengan laju hamburan total. Dalam medium yang seragam, lebar spektral hanya bergantung pada energi dan momentum. Namun dalam medium dengan gradien, lebar spektral juga bergantung pada posisi karena ia menerima kontribusi dari proses hamburan yang melibatkan mode kolektif medium yang terlokalisasi. Mode kolektif ini muncul sebagai eksitasi dari gelombang suara atau gelombang spin dalam materi nuklir, dan frekuensinya dapat beresonansi dengan perbedaan energi antara dua flavor. Ketika resonansi terjadi, lebar spektral meningkat secara signifikan dalam pita energi yang sempit, menghasilkan dekoherensi selektif pada energi tertentu.

Selain lebar spektral, kontraksi juga terjadi melalui suku difusi yang muncul dari self-energy lesser. Suku difusi ini menggambarkan efek acak dari tumbukan dengan partikel latar yang memiliki distribusi termal atau non-termal. Dalam formalisme Keldysh-Schwinger, suku difusi dihitung dari komponen off-diagonal dari self-energy lesser setelah diintegralkan atas momentum internal. Hasilnya adalah matriks laju difusi yang memperbarui elemen off-diagonal dari matriks densitas dengan cara yang analog dengan persamaan Langevin untuk sistem kuantum. Matriks laju ini jelas tidak simetris dan memiliki nilai eigen yang umumnya kompleks. Bagian real dari nilai eigen memberikan laju peluruhan koherensi, sedangkan bagian imajiner memberikan pergeseran frekuensi osilasi. Kedua bagian ini cukup penting untuk menentukan waktu hidup koherensi neutrino di dalam medium supernova, yang ternyata sangat sensitif terhadap model persamaan keadaan yang digunakan.

Semoga Bermanfaat dan Terima Kasih

Illustrasi Artistik Koherensi Neutrino Di Dalam Medium Supernova (Gambar dibuat oleh Nano Banana AI)