Persamaan Raychaudhuri: Akhir Tak Terelakkan dari Segala Gravitasi

Illustrasi Artistik Garis Ekuator Bumi, garis imajiner pada lintang yang mengelilingi tengah bumi, membaginya menjadi belahan utara dan selatan (Gambar dibuat oleh Nano banana AI)

Bayangkan Anda melemparkan segenggam kerikil ke kolam. Kerikil-kerikil itu jatuh terpisah, lalu tiba-tiba saling mendekat tanpa ada yang mendorong dari samping. Sesuatu di dalam air—atau tepatnya, sesuatu di dalam ruang-waktu itu sendiri—sedang menarik mereka. Persamaan Raychaudhuri adalah rumus matematis yang membuktikan bahwa efek tarik-menarik semacam ini tidak bisa dihindari jika gravitasi bekerja sebagai gaya sejati.

Amal Kumar Raychaudhuri, fisikawan dari Presidency College Kolkata, menulis persamaan ini pada tahun 1955, ketika Einstein masih hidup dan relativitas umum masih berusia paruh baya. Dia ingin menjawab pertanyaan sederhana, yaitu bagaimana kumpulan titik-titik yang bergerak karena gravitasi berubah jaraknya satu sama lain seiring waktu?

Dalam fisika Newton, dua batu yang jatuh ke Bumi akan mempertahankan jarak relatifnya jika dilepaskan bersamaan dari ketinggian sama. Dalam relativitas umum, tidak demikian. Gravitasi bukan gaya, melainkan kelengkungan ruang-waktu. Jika ruang-waktu melengkung, dua jalur yang awalnya sejajar bisa menyempit. Persamaan Raychaudhuri adalah penguasa tunggal yang memerintah penyempitan itu.

Tiga Sifat Gerombolan Garis Dunia

Setiap kumpulan garis dunia (worldlines) memiliki tiga sifat pokok: ekspansi (θ), geseran (σ), dan vortisitas (ω). Ekspansi adalah seberapa cepat kumpulan itu membesar atau menyusut. Geseran adalah seberapa bentuknya berubah dari lingkaran menjadi elips tanpa berubah luas. Vortisitas adalah seberapa banyak kumpulan itu berputar pada porosnya. Raychaudhuri menggabungkan ketiganya dalam satu persamaan tunggal.

Yang membuat persamaan ini dahsyat adalah tanda minus di depan suku ekspansi kuadrat dan suku geseran kuadrat. Ekspansi kuadrat selalu positif, lalu diberi tanda minus, sehingga ia mempercepat penyusutan jika kumpulan itu sedang menyusut. Geseran kuadrat juga selalu positif dengan tanda minus, jadi geseran juga mempercepat penyusutan. Vortisitas adalah satu-satunya yang punya tanda plus, sehingga ia melawan penyusutan.

Tanpa vortisitas—artinya tanpa rotasi—maka persamaan ini berubah menjadi ketidaksetaraan sederhana dimana laju perubahan ekspansi selalu lebih kecil atau sama dengan minus sepertiga ekspansi kuadrat. Dalam bahasa sederhana, jika sekumpulan partikel mulai mendekat (ekspansi negatif), maka mereka akan mendekat semakin cepat hingga suatu saat jarak antar mereka menjadi nol dalam waktu berhingga. Fisikawan menyebut titik itu sebagai fokus atau caustic.

Fokus adalah titik di mana deskripsi matematis jalur partikel runtuh total. Semua perhitungan jarak menjadi tak terdefinisi. Dalam relativitas umum, titik seperti itu adalah singularitas. Persamaan Raychaudhuri tidak mengatakan singularitas itu terjadi secara otomatis, tetapi ia memberikan syarat pastinya yaitu jika pernah ada ekspansi negatif di suatu masa, maka singularitas tidak bisa dihindari.

Energi yang Memaksa Alam Semesta Menyusut

Agar kesimpulan di atas sah, fisika membutuhkan satu asumsi tambahan tentang materi. Asumsi itu disebut kondisi energi kuat (strong energy condition). Secara teknis, kondisi ini mengatakan bahwa Rμν u^μ u^ν ≥ 0 untuk setiap kecepatan u^μ. Dalam bahasa awam, gravitasi selalu menarik, tidak pernah menolak. Materi biasa, debu, cairan, dan bahkan radiasi memenuhi ini.

Kondisi energi kuat dipenuhi oleh semua bentuk materi yang diketahui di alam semesta sebelum ditemukannya energi gelap pada akhir 1990-an. Bahkan sekarang, untuk materi non-eksotis di Bumi dan di bintang, kondisi ini tetap berlaku. Inilah sebabnya mengapa persamaan Raychaudhuri relevan untuk fisika bintang, galaksi, dan lubang hitam.

Roger Penrose pada tahun 1965 menggunakan versi nul untuk cahaya dari persamaan Raychaudhuri untuk membuktikan bahwa lubang hitam harus memiliki singularitas di pusatnya. Buktinya tidak bergantung pada simetri bola sempurna. Bahkan jika bintang yang runtuh berbentuk tidak beraturan, selama terbentuk permukaan terperangkap, singularitas tidak bisa dihindari. Penrose menerima Hadiah Nobel Fisika 2020 untuk ini.

Trapped surface adalah permukaan tertutup dua dimensi di mana semua berkas cahaya yang keluar dari permukaan itu sebenarnya sedang menyusut. Aneh, tetapi persamaan Raychaudhuri membuktikan bahwa dalam ruang-waktu yang sangat melengkung di dekat lubang hitam, hal itu terjadi secara otomatis. Begitu permukaan itu terbentuk, seluruh materi di dalamnya dipaksa menuju singularitas.

Dari Alam Semesta Mengembang ke Singularitas Awal

Stephen Hawking bersama Penrose menerapkan persamaan yang sama ke seluruh alam semesta. Jika kita membalik waktu, alam semesta yang kini mengembang berarti di masa lalu ia menyusut. Ekspansi saat ini positif, tetapi saat dibalik waktu, tanda ekspansi menjadi negatif. Dengan kondisi energi kuat yang dipenuhi oleh materi di alam semesta muda, persamaan Raychaudhuri memaksa bahwa penyusutan ke masa lalu harus mencapai singularitas dalam waktu berhingga.

Hasilnya adalah teorema singularitas Hawking-Penrose 1970 dimana alam semesta pasti dimulai dari singularitas, asalkan (1) materi memenuhi kondisi energi, (2) alam semesta mengandung cukup materi untuk membalikkan ekspansi jika dibalik waktu, dan (3) tidak ada kelengkungan waktu yang tertutup. Semua bukti kosmologi hingga kini mendukung premis-premis ini untuk alam semesta awal.

Beberapa fisikawan berusaha menghindari singularitas dengan memperkenalkan vortisitas alam semesta secara keseluruhan. Dalam persamaan Raychaudhuri, vortisitas memberi tanda plus yang bisa menunda konvergensi. Namun, pengamatan radiasi latar kosmik menunjukkan alam semesta sangat tidak berotasi. Ketidakmampuan vortisitas kosmik yang terukur untuk membatalkan singularitas hanya memperkuat kesimpulan awal.

Perlu dicatat bahwa persamaan Raychaudhuri sendiri tidak membuktikan bahwa singularitas itu nyata secara fisik. Ia hanya membuktikan bahwa relativitas umum yang klasik akan runtuh di titik itu. Banyak fisikawan meyakini bahwa efek kuantum gravitasi akan mengubah cerita di skala Planck. Namun, selama kita hanya menggunakan relativitas umum, singularitas adalah konsekuensi tak terelakkan.

Karena persamaan ini diturunkan langsung dari tensor Riemann dan tanpa asumsi simetri apapun, ia berlaku untuk setiap ruang-waktu yang memenuhi relativitas umum. Apakah itu ruang-waktu di sekitar Bumi, di dalam bintang neutron, atau di dekat lubang hitam supermasif, persamaan yang sama berlaku. Universalitas inilah yang membuat Raychaudhuri berdiri sejajar dengan hukum kekekalan energi dalam hierarki fisika fundamental.

Maka inilah persamaan yang membuktikan bahwa kosmos tidak bisa bersembunyi. Jika gravitasi menarik, jika materi tidak berotasi terlalu kencang, dan jika suatu saat garis-garis dunia mulai merapat, maka titik akhirnya adalah singularitas. Raychaudhuri menulisnya pada 1955. Penrose, Hawking, dan Geroch kemudian membungkusnya dengan logika kausalitas.

Semoga Bermanfaat dan Terima Kasih

Illustrasi Artistik Kelengkungan Ruang dan Waktu (Gambar dibuat oleh Nano banana AI)