Apa Itu Kombinatorika? Ini Penjelasan dan Contoh Soalnya

Ilustrasi mengerjakan soal-soal matematika yang berkaitan dengan kombinatorika. Foto: Unsplash

Kombinatorika adalah salah satu bidang ilmu matematika yang mempelajari tentang banyaknya kemungkinan yang terjadi dari suatu percobaan. Bidang ini merupakan landasan konsep teori peluang, yaitu cabang ilmu yang mempelajari faktor ketidakpastian.

Mengutip Heuristic: For Mathematical Olympiad Approach 2nd Edition oleh Heuristic ID Team (2021: 147), terdapat kaidah dasar perhitungan yang dipergunakan dalam kombinatorika untuk menghitung semua kemungkinan dalam suatu percobaan, yakni kaidah pencacahan.

Kaidah pencacahan terbagi menjadi dua macam, yaitu penjumlahan dan perkalian. Kedua kaidah ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks dengan cara memecah atau mengurai masalah tersebut menjadi beberapa bagian yang lebih sederhana.

Apa Itu Kombinatorika?

Pada dasarnya, kombinatorika digunakan untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus menyebutkan semua kemungkinan susunannya.

Mengutip Matematika Diskrit: Penerapannya dalam Dunia Informasi oleh Tenia Wahyuningrum dan Elisa Usada (2019: 65), penyusunan objek-objek tersebut meliputi pemasangan, pengelompokan, pengurutan, pemilihan, atau penempatan objek-objek dengan karakteristik tertentu.

Kombinatorika memiliki cakupan yang luas dan dapat diaplikasikan pada berbagai macam cabang ilmu pengetahuan, seperti kimia, biologi, fisika, ilmu komputer, hingga komunikasi.

Ilustrasi penerapan kombinatorika pada ilmu komputer untuk menganalisis masalah. Foto: Unsplash

Ada banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang bisa diselesaikan dengan kombinatorika. Salah satu metode dasar yang digunakan dalam kombinatorika untuk menyelesaikan masalah adalah kaidah pencacahan.

Secara umum, terdapat dua kaidah pencacahan, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian. Berikut masing-masing penjelasan dan contoh soalnya.

1. Kaidah Penjumlahan

Kaidah penjumlahan dinyatakan sebagai berikut:

"Jika dalam kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam n cara, maka kejadian pertama atau kedua dapat terjadi dalam (m + n) cara."

Contoh Soal Kaidah Penjumlahan

Contoh 1:

Di dalam kotak berisi 5 pulpen dan 3 pensil. Berapa banyak cara untuk mengambil 1 pulpen atau 1 pensil?

Penyelesaian:

Kejadian memilih 1 pulpen ada 5 cara dan kejadian memilih 1 pensil ada 3 cara.

Banyaknya kemungkinan memilih 1 pulpen atau 1 pensil adalah m + n = 5 + 3 = 8. Jadi, banyaknya kemungkinan cara untuk mengambil 1 pulpen atau 1 pensil adalah 8 cara.

Contoh 2:

Suatu perpustakaan sekolah memiliki koleksi 40 buku sosiologi dan 50 buku antropologi. Berapa banyak kemungkinan bagi siswa dalam memilih sebuah buku dari kedua jenis buku tersebut?

Penyelesaian:

Kejadian memilih 1 buku sosiologi ada 40 cara dan kejadian memilih buku antropologi ada 50 cara.

Banyaknya kemungkinan bagi siswa dalam memilih sebuah buku dari kedua jenis buku tersebut tanpa memperhatikan jenis buku adalah m + n = 40 + 50 = 90 cara.

2. Kaidah Perkalian

Kaidah perkalian dinyatakan sebagai berikut:

"Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan setiap kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi dalam n cara, maka kejadian pertama dan kejadian kedua tersebut secara bersama-sama terjadi dalam (m x n) cara."

Contoh Soal Kaidah Perkalian

Contoh 1:

Berapakah banyaknya kejadian yang mungkin muncul jika 2 dadu dilempar satu kali?

Penyelesaian:

Seperti yang diketahui, dadu memiliki 6 sisi. Dadu pertama akan muncul 6 kemungkinan kejadian dan dadu kedua juga akan muncul 6 kemungkinan kejadian.

Maka, kejadian secara bersamaan yang akan muncul jika 2 dadu dilempar sekali adalah m x n = 6 x 6 = 36 kemungkinan kejadian.

Contoh 2:

Dari sebanyak 6 siswa laki-laki dan 8 siswa perempuan akan dipilih dua siswa (laki-laki dan perempuan) yang akan mewakili sekolah untuk mengikuti lomba matematika. Berapa banyak cara untuk menentukan pasangan siswa laki-laki dan perempuan yang mungkin terpilih?

Penyelesaian:

Kejadian memilih siswa laki-laki ada 6 cara dan kejadian memilih siswa perempuan ada 8 cara.

Dengan menggunakan kaidah perkalian, maka banyaknya cara untuk menentukan pasangan siswa yang terpilih adalah m x n = 6 x 8 = 48 cara.

(SFR)