Jenis-Jenis, Rumus, dan Contoh Soal Permutasi dalam Matematika

Ilustrasi mengerjakan contoh soal permutasi. Foto: Pixabay

Permutasi merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari di tingkat SMA. Lebih spesifik, permutasi termasuk dalam bab Statistika dan Peluang bersama subbab lainnya seperti Kombinasi.

Mengutip buku Explore Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA/SMK/MAK tulisan Kamta Agus Sajaka dkk., permutasi adalah susunan yang dibentuk dari suatu kumpulan objek (unsur) yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutannya.

Permutasi merupakan aturan pencacahan yang bertujuan untuk menentukan banyaknya kemungkinan yang akan terjadi dari suatu kejadian.

Ada tiga jenis permutasi yang diketahui dalam ilmu matematika. Untuk mengetahuinya, simak jenis-jenis, rumus, dan contoh soal permutasi selengkapnya di bawah ini.

Jenis-Jenis Permutasi dan Rumusnya

Ilustrasi materi permutasi. Foto: Unsplash

1. Permutasi dengan n Anggota Berbeda

Ada dua jenis permutasi dengan n anggota berbeda, yaitu permutasi dengan n anggota berbeda tanpa pengulangan dan permutasi dengan n anggota berbeda yang pengulangan elemen-elemennya diperbolehkan.

Rumus:

Keterangan:

2. Permutasi Jika Ada Beberapa Unsur yang Sama

Permutasi dari unsur yang sama adalah permutasi yang memuat unsur dengan sifat sama atau identik. Misalnya, pada kata TOMAT terdapat unsur yang sama, yaitu huruf T. Dari huruf-huruf pada kata TOMAT dapat disusun kata baru, yaitu MOTTA, TAMOT, ATTOM, dan seterusnya.

Rumus banyak permutasi n unsur yang memuat r unsur yang sama:

Rumus banyak permutasi n unsur yang memuat p, q, r, ..., x unsur yang sama:

3. Permutasi Melingkar

Permutasi siklis atau permutasi melingkar adalah permutasi yang disusun menurut suatu putaran tertentu.

Rumus:

Keterangan:

Agar lebih memahaminya, simak contoh soal permutasi berikut yang dikutip dari Buku Pintar Matematika SMA untuk Kelas 1, 2, dan 3 tulisan Drs. Joko Untoro dan Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian oleh Dini Arfiyanti.

Contoh Soal Permutasi

Ilustrasi mengerjakan soal permutas. Foto: Unsplash

Soal 1

Sekolah akan mengirimkan 3 orang siswa untuk mengikuti perlombaan membaca puisi dalam menyambut Hari Pendidikan Nasional. Berapa cara yang dapat dilakukan oleh guru untuk menyeleksi 3 wakil sekolah yang akan dikirimkan jika terdapat 6 orang siswa yang mahir membaca puisi?

Diketahui:

Ditanya: nPr?

Jawab:

nPr = n! / (n-r)!

6P3 = 6! / (6-3)!

= 6!/3!

= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 / 1 x 3 x 3

= 4 x 5 x 6

= 120

Jadi, banyaknya cara yang dapat dilakukan adalah 120 cara.

Soal 2

Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi jika akan disusun 3 huruf yang diambil dari abjad A, B, C, D, E!

Diketahui:

Ditanya: nPr?

Jawab:

nPr = n! / (n-r)!

5P3 = 5! / (5-3)!

= 5!/2!

= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 / 1 x 2

= 3 x 4 x 5

= 60

Jadi, banyaknya permutasi adalah 60

Soal 3

Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi pada kata EMBER!

Diketahui:

Ditanya: nPr?

Jawab:

nPr = n! / r!

5P3 = 5!/2!

= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 / 1 x 2

= 3 x 4 x 5

= 60

Jadi, banyaknya permutasi adalah 60.

Soal 4

Lima orang anak sedang duduk melingkar di teras rumah sambil bermain boneka. Ada berapa susunan berbeda apabila anak-anak tersebut bertukar posisi duduk?

Jawab:

n = 5

Ps(n) = (n - 1)!

P5(5) = (5 - 1)!

= 4!

= 1 x 2 x 3 x 4

= 24

Jadi, banyaknya susunan berbeda dari tempat atau posisi duduk anak-anak tersebut adalah 24 cara.

(ADS)