Langkah-Langkah Induksi Matematika Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasannya

Simbol matematika. Foto: Pixabay

Dalam ilmu matematika, pembuktian teorema atau rumus matematika dilakukan dengan dua cara, yaitu deduksi dan induksi. Deduksi matematika dilakukan dengan pembuktian dari hal yang umum ke hal yang khusus. Sebaliknya, induksi matematika dilakukan dengan pembuktian dari hal yang khusus ke hal yang umum.

Induksi matematika sangat diperlukan untuk menjamin keberlakuan rumus untuk setiap bilangan asli. Untuk itu, pembahasan berikut akan mengulas lebih lanjut tentang cara menghitung induksi matematika beserta contoh soal dan pembahasannya yang dikutip dari buku MATEMATIKA SMA DAN MA untuk Kelas XII Semester 2 oleh Kuntari dkk.

Langkah-Langkah Pembuktian dengan Induksi Matematika

Ada dua langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus, yaitu:

1. Buktikan bahwa n = 1 adalah benar.

2. Jika rumus n = k benar, buktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1

Dengan begitu, rumus juga berlaku untuk n = 2, 3, 4. . . . .

Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus benar untuk semua n bulat positif.

Ilustrasi matematika. Foto: Pixabay

Contoh Soal dan Pembahasan

Untuk lebih memahami induksi matematika, simak contoh soal berikut.

Soal 1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

1 + 2 + 3 + . . . + n = (n (n+1))/2 berlaku untuk setiap bilangan asli n

Pembahasan

• Rumus benar untuk n = 1, ganti bilangan n dengan 1 sehingga

1 = (1 (1+1))/2 = 2/2

• Rumus benar untuk n = k, ganti bilangan n dengan k sehingga

(1) 1 + 2 + 3 + . . . + k = (k (k+1))/2 merupakan pernyataan yang benar

• Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1

(2) 1 + 2 + 3 + . . . + k + k + 1 = = ((k+1)(k+1+1))/2

Dimulai dari pernyataan (1):

1 + 2 + 3 + . . . + k = (k(k+1))/2

Tambahkan kedua ruas dengan (k + 1) menjadi

1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (k (k+1))/2 + (k + 1)

= (k + 1) = (k/2 + 1)

= (k + 1) = ((k+2)/2)

= ((k+1)(k+2))/2

= ((k+1)(k+1+1))/2

Jadi, 1 + 2 + 3 + . . . + n = (n (n+1))/2 berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Soal 2. Buktikan bahwa pernyataan

1/(1 · 3) + 1/(3 · 5) + 1/(5 · 7) +…+ 1/((2n-1)(2n+1)) = 1/(2+1) berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Pembahasan

• Rumus benar untuk n = 1, karena

1/((2n-1)(2n+1)) = n/(2+1)

• Rumus berlaku untuk n = k, maka

(1) 1/(1 · 3) + 1/(3 · 5) + 1/(5 · 7) +…+ 1/((2k-1)(2k+1)) = n/(2k+1)

merupakan pernyataan yang benar

• Rumus benar untuk n = k + 1

(2) 1/(1 · 3) + 1/(3 · 5) + 1/(5 · 7) +…+ 1/((2k - 1)(2k + 1)) + 1/((2k - 1)(2k + 3)) = (k + 1)/(2k + 3)

Dimulai dari pernyataan (1)

*Tambahkan kedua ruas dengan suku ke-(k + 1)

1/1.3 + 1/(3.5) + 1/5.7 +…+ 1/((2k-1)(2k+1)) = n/(2k+1)

1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 +…+ 1/((2k-1)(2k+1)) + 1/((2k - 1)(2k + 3))

= k/(2k+1) + 1/(2k – 1)(2k + 3)

= (k (2k+3)+1)/((2k+ 1)(2k + 3))

= (2k(2)+3k + 1)/((2k + 1)(2k+ 3))

= ((2k+1)(k + 1))/((2k+ 1)(2k+ 3))

= (k+1)/(k+ 3)

*Hasil sama dengan pernyataan (2)

(ADS)