Mengenal Sistem Bilangan Real dalam Matematika

Ilustrasi sistem bilangan real (Unsplash).

Sistem bilangan real adalah salah satu materi penting dalam ilmu matematika. Sistem bilangan ini biasanya disebut juga sebagai sistem bilangan riil.

Menurut Koko Martono dalam buku Kalkulus, sistem bilangan real merupakan himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu.

Teori tentang bilangan real muncul sejak teori bilangan dan geometri berkembang pada abad ke-19. Pemikiran tentang bilangan real ini awalnya disumbang oleh matematikawan bernama K. Weierstrass (1815-1897), R. Dedekind (1831-1916), dan G. Cantor (1845-1918).

Sebenarnya, apa itu bilangan real dan seperti apa contohnya? Berikut informasinya yang telah dirangkum dari berbagai sumber.

Himpunan Bilangan Real dalam Matematika

Ilustrasi sistem bilangan real (Unsplash).

Masih dari sumber yang sama, bilangan real adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional dan merupakan susunan kelompok angka dengan aturan tertentu. Himpunannya dinotasikan dengan R.

Mengutip buku Matematika Dasar Jilid 1 karya Puji Rahayu Ningsih, komponen lengkap dari bilangan real itu terdiri dari:

1. Bilangan asli

Bilangan asli adalah himpunan bilangan yang dimulai dari angka 1. Himpunannya dinotasikan dengan N.

N = {1, 2, 3 4, 5, ...}

2. Bilangan cacah

Bilangan cacah yaitu himpunan bilangan asli ditambah dengan 0 dan selalu bertanda positif. Himpunanya dinotasikan dengan W.

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

3. Bilangan bulat

Bilangan bulan adalah himpunan bilangan cacah yang ditambah dengan semua negatif dari bilangan asli. Himpunannya dinotasikan dengan Z.

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

4. Bilangan irasional

Bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dinotasikan dengan I. Bilangan ini tak dapat diubah dalam bentuk pecahan a/b dengan a,b bilangan bulat dan b≠0, tapi dapat dinyatakan dalam bentuk desimal.

Apabila bilangan irasional diubah menjadi pecahan desimal, maka angkanya tidak akan berhenti di suatu bilangan dan tidak membentuk suatu pola pengulangan tertentu. Contohnya bilangan irasional yaitu:

√2 =1,4142135…

√3 =1,7320508...

√5 = 2,236067...

konstanta e = 2,7182818…

konstanta π = 3,1415926…

5. Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat diubah ke dalam bentuk pecahan a/b dengan a dan b bilangan bulat dan b≠0.

Himpunan bilangannya dinotasikan dengan Q. Bilangan ini punya sifat yang berlawanan dengan bilangan irasional, berikut beberapa contohnya:

0 = 0/1 (dapat diubah ke bentuk a/b)

1,5 = 15/10 (dapat diubah ke bentuk a/b)

5 = 5/1 (dapat diubah ke bentuk a/b)

3/4 = 0,75 (berhenti di suatu bilangan)

8/9= 0,8888888... (memiliki pola pengulangan)

√9 = 3 = 3/1 (dapat diubah ke bentuk a/b).

Sehingga, hubungan bilangan-bilangan di atas dapat digambarkan melalui diagram Venn berikut ini:

Hubungan bilangan real, bilangan irasional dan rasional dalam sistem bilangan (dokumen).

Baca Juga: Kumpulan Contoh Soal Bilangan Real beserta Kunci Jawabannya

Sifat Sistem Bilangan Real

Ilustrasi sistem bilangan real (Unsplash).

Terdapat tiga macam sifat yang dimiliki sistem bilangan real. Merujuk buku Kalkulus Diferensial karya Herry Pribawanto Suryawan, berikut tiga sifat dari sistem bilangan real:

1. Sifat Aljabar

Sifat ini berkaitan dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (·) bilangan-bilangan real.

2. Sifat Urutan

Sifat ini berhubungan dengan besar kecilnya bilangan real. Secara geometris, sifat ini berkorespondensi dengan posisi titik-titik yang terdapat pada garis bilangan real.

Misalnya, saat meletakkan a di sebelah kiri b, maka a kurang dari (<) b atau b lebih dari (>) a. Namun, apabila a kurang dari atau sama dengan b, notasi yang digunakan (≤) dan saat a lebih besar dari b maka notasinya (≥). Keempat notasi itu adalah ketaksamaan.

3. Sifat Kelengkapan

Sifat yang terakhir ini secara sederhana dapat dijelaskan bahwa garis bilangan real tak tak memiliki lubang atau penuh (padat) terisi bilangan-bilangan real.

(NSA)