Rumus Interpolasi: Pengertian, Jenis-Jenis, dan Contoh Soalnya

Ilustrasi mengerjakan soal matematika. Foto: Pixabay

Dalam matematika, interpolasi adalah suatu metode untuk mendapatkan nilai di antara dua data atau lebih yang sudah diketahui nilainya. Metode ini menggunakan pendekatan berdasarkan kecenderungan dari sederet data atau nilai-nilai yang disajikan dalam suatu tabel.

Secara umum, interpolasi terbagi menjadi tiga jenis, antara lain interpolasi linear, interpolasi kuadratik, dan interpolasi berderajat tinggi. Agar lebih memahaminya, simak pembahasan di bawah ini.

Jenis-Jenis Interpolasi dan Contoh Soalnya

Dikutip dari Metode Numerik oleh Cahya Rahmad, dkk. (2018: 68-70), berikut penjelasan mengenai jenis-jenis interpolasi beserta contoh soalnya.

1. Interpolasi Linear

Interpolasi linear adalah interpolasi yang menggunakan pendekatan fungsi sesungguhnya dengan fungsi berupa garis lurus. Ini merupakan bentuk interpolasi yang paling sederhana.

Syarat untuk mencari titik dalam interpolasi linear adalah mengetahui minimal 2 titik sehingga bisa menemukan titik yang ada di antara titik-titik yang diketahui tersebut. Pada dasarnya, interpolasi jenis ini digunakan untuk menentukan nilai antara dua persamaan linear. Berikut rumus yang digunakan unuk interpolasi linear:

C = f(xo) + f(x1) - f(xo) / x1 - x0 (x -xo)

Contoh soal:

Diketahui dua buah data seperti pada tabel berikut. Berapa nilai ln(2)?

Ilustrasi Tabel Contoh Soal Interpolasi Linear. Foto: Dok. Istimewa

Jawaban:

C = f(xo) + f(x1) - f(xo) / x1 - x0 (x -xo) = 0 + 1,792 - 0 / 6 - 1 (2 - 1) = 0,359

Jadi, nilai ln(2) adalah 0,359.

2. Interpolasi Kuadratik

Interpolasi kuadratik adalah perbaikan dari interpolasi linear. Pada dasarnya, bentuk persamaan dari interpolasi linear mempunyai tingkat kesalahan yang relatif tinggi.

Itu karena pendekatan fungsi yang dianggap sebagai garis lurus padahal belum tentu demikian. Pendekatan garis lurus dilakukan dengan cara menghubungkan dua titik. Apabila ada tiga titik yang dapat dihubungkan, maka memerlukan pendekatan berupa garis lengkung.

Dengan demikian, dibutuhkan persamaan kuadratik untuk mengetahui titik yang dicari. Rumus yang digunakan untuk interpolasi kuadratik:

P2(x) = Y0L0(x) + Y1L1(x) + Y2L2(x)

dengan Y0, ... ,Yn = f(x0), .... , f(xn)

L0(x) = (x - x1) (x - x2) / (x0 - x1) (x0 - x2)

L1(x) = (x - x0) (x - x2) / (x1 - x0) (x1 - x2)

L2(x) = (x - x0) (x - x1) / (x2 - x2) (x2 - x1)

Contoh soal:

Diketahui tiga buah data seperti pada tabel berikut. Berapa nilai ln(2)?

Ilustrasi Tabel Contoh Soal Interpolasi Kuadratik. Foto: Dok. Istimewa

Jawaban:

L0(x) = (x - x1) (x - x2) / (x0 - x1) (x0 - x2) = (2 - 4) (2 - 6) / (1 - 4) (1 - 6) = 8/15

L1(x) = (x - x0) (x - x2) / (x1 - x0) (x1 - x2) = (2 - 1) (2 - 6) / (4 - 1) (4 - 6) = 4/6

L2(x) = (x - x0) (x - x1) / (x2 - x2) (x2 - x1) = (2 - 1) (2 - 4) / (6 - 1) (6 - 4) = 2/10

Hasilnya substitusikan ke dalam P2(x) = Y0L0(x) + Y1L1(x) + Y2L2(x) = 0 . 8/15 + 1,386 . 4/6 + 1,792 . 2/10 = 0,565

Jadi, nilai ln(2) adalah 0,565.

Ilustrasi mengerjakan soal matematika di papan tulis. Foto: Pixabay

3. Interpolasi Berderajat Tinggi

Interpolasi berderajat tinggi adalah interpolasi dengan menggunakan tiga data atau lebih. Apabila diasumsikan jumlah titik data adalah n + 1, maka rumus interpolasi berderajat n adalah:

Pn(x) = Y0L0(x) + Y1L1(x) + ... + YnLn(x)

dengan keterangan Y0, ..., Yn dan L0, ..., Ln sama seperti pada interpolasi kuadratik.

Contoh soal:

Bagaimana rumus persamaan interpolasi berderajat 3?

Jawaban:

Diketahui n = 3, maka rumus persamaannya:

P3(x) = Y0L0(x) + Y1L1(x) + Y2L2(x) + Y3L3(x)

dengan

L0(x) = (x - x1) (x - x2) (x - x2) / (x0 - x1) (x0 - x2) (x0 - x3)

L1(x) = (x - x0) (x - x2) (x - x2) / (x1 - x0) (x1 - x2) (x1 - x3)

L2(x) = (x - x0) (x - x1) (x - x3) / (x2 - x2) (x2 - x1) (x2 - x3)

L3(x) = (x - x0) (x - x1) (x - x2) / (x3 - x0) (x3 - x1) (x3 - x2)

(SFR)