3 Contoh Soal Induksi Matematika Lengkap beserta Pembahasannya

Ilustrasi Contoh Soal Induksi Matematika SMA. Sumber: Pexels.com/Julia M Cameron

Contoh soal induksi matematika adalah salah satu bahan belajar yang diperlukan oleh siswa setelah menyimak materi Matematika. Hal tersebut dikarenakan oleh kondisi bahwa Matematika merupakan ilmu sains yang membutuhkan pengesahan logika.

Bila hanya memahami materi atau menghafalnya, seseorang belum tentu mampu untuk menyelesaikan soal. Oleh sebab itu, siswa yang mempelajari Matematika perlu menyimak materi, contoh soal, dan mengerjakan soal.

3 Contoh Soal Induksi Matematika SMA

Ilustrasi Contoh Soal Induksi Matematika SMA. Sumber: Pexels.com/Julia M Cameron

Guna membantu siswa melanjutkan proses belajar dari memahami materi ke tahap memahami contoh soal, inilah contoh soal yang dapat disimak. Dua contoh soal induksi matematika yang pertama mengutip dari buku berjudul Top One Ulangan Harian SMA/MA IPA Kelas XI karya Tim Super Tentor (2018: 5).

1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa n < 3n untuk setiap bilangan asli n.

Pembahasan:

• Langkah Pertama:

Untuk n = 1 maka 1 < 3pangkat1 sehingga pernyataan benar untuk n = 1.

• Langkah Kedua:

Pernyataan dianggap benar untuk n = k maka k < 3pangkat(k).

Untuk n = k + 1 akan dibuktikan k + 1 < 3pangkat(k+1)

k + 1 < 3pangkat(k) + 1

< 3pangkat(k) + 6

< 3pangkat(k) + 3 + 3

< 3pangkat(k) + 3pangkat(k) + 3pangkat(k)

< 3. 3pangkat(k)

< 3pangkat(k+1)

Pernyataan terbukti benar untuk n = k+1. Jadi, n < 3pangkat(n) untuk setiap bilangan asli.

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = (n)pangkat(2) untuk n bilangan asli.

Pembahasan:

• Misalkan, P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = (n)pangkat(2)

• Langkah Pertama:

P(n) = 2n – 1 = (n)pangkat(2)

Untuk n = 1 maka,

2(1) – 1 = 1pangkat2

2 – 1 = 1

1 = 1

Jadi, pernyataan benar untuk n = 1.

• Langkah Kedua:

Akan dibuktikan implikasi P(k) benar -> P(k+1) benar.

P (k) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) = (k)pangkat(2)

Untuk P(k+1) berlaku:

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1)

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2 – 1)

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1)

= (k)pangkat(2) + (2k + 1) = (k)pangkat(2) + 2k + 1

Ingat bahwa (a + 1)pangkat2 = (a)pangkat(2) + 2a + 1

Maka,

= (k)pangkat(2) + (2k + 1) = (k + 1)pangkat2

Jadi, berdasarkan langkah pertama dan kedua, dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n bilangan asli.

Baca juga: Contoh Soal Gerak Melingkar Beraturan dan Jawabannya

Contoh soal yang selanjutnya, yakni contoh soal ketiga mengutip dari buku yang berjudul Inti Materi Matematika Biologi SMA Kelas 10, 11, 12 karya Tim Maestro Genta (2021: 37 – 38).

3. Selidiki kebenaran pernyataan untuk setiap bilangan asli, P(n) = (n)pangkat(2) – n + 41 adalah bilangan prima dengan menggunakan induksi matematika.

Pembahasan:

• Langkah Pertama:

Untuk menyelidiki P(n) dengan memperhatikan tabel P(n) = (n)pangkat(2) – n + 41 untuk n bilangan asli.

n | (n)pangkat(2) – n + 41 | Prima?

1 | 41 | Ya

2 | 43 | Ya

3 | 47 | Ya

4 | 53 | Ya

5 | 61 | Ya

Dari tabel di atas, seluruhnya adalah bilangan prima. Namun, ada n bilangan asli mengakibatkan P(n) bukan bilangan prima, yaitu n = 41. Pasalnya, langkah pertama dari prinsip induksi matematika tidak terpenuhi.

Berdasarkan kondisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa P(n) (n)pangkat(2) – n + 41, untuk setiap n bilangan asli bukan merupakan formula bilangan prima.

Itulah uraian tentang contoh soal induksi matematika untuk tingkat SMA. Bila hanya disimak, soal tersebut memang tampak rumit. Oleh sebab itu, siswa perlu melatih diri untuk mengerjakan soal.

Pasalnya, semakin sering melatih diri untuk mengerjakan soal maka akan semakin terasah pula kemampuan dalam menyelesaikan soal. Sekian pembahasan kali ini, selamat lanjut belajar. (AA)