5 Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Lengkap dengan Kunci Jawaban
Penulis kumparan
·waktu baca 2 menit
Tulisan dari Berita Terkini tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarDalam pembelajaran matematika, kita mempelajari hitungan induksi. Apa yang dimaksud dengan induksi? Pembelajaran induksi adalah metode pembuktian yang digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Adapun siswa dapat membuktikan induksi dengan mengikuti tiga langkah berikut: menunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = 1, mengasumsikan pernyataan benar untuk n = k, serta menunjukkan bahwa n = k + 1 juga benar. Apabila siswa berhasil mengikuti ketiga langkah tersebut dengan benar, maka dapat disimpulkan pernyataan benar untuk setiap n bilangan asli. Nah, artikel kali ini akan membahas lebih lanjut mengenai contoh soal induksi matematika kelas 11 lengkap dengan kunci jawabannya.
Contoh Soal Induksi dan Kunci Jawaban
Pembelajaran mengenai induksi termasuk dalam salah satu materi wajib matematika ketika SMA. Sebelumnya kita sudah membahas mengenai cara mengidentifikasi kebenaran suatu pertanyaan. Agar lebih paham, berikut adalah contoh soal induksi matematika kelas 11 lengkap dengan kunci jawabannya yang dikutip dari buku Peka Soal Matematika SMA/MA Kelas X, XI, dan XII yang ditulis oleh Darmawati (2020: 143):
Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan positif berlaku: 1 + 2 + 3 + … + n = 1/2n (n+1)
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 3^n ≥ 2n + 1.
Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan bahwa 4n < 2^n untuk semua bilangan positif n ≥ 5.
Buktikan bahwa bentuk 3^2n – 1 selalu habis dibagi oleh 8, untuk setiap bilangan asli n.
Buktikan bahwa 3^2n + 2^2n+2 habis dibagi 5.
Kunci jawaban:
Bentuk (k+2)(k+1)/2 merupakan nilai dari 1/2n(n+1) jika n bilangan diganti dengan (k+1). Dari (1), (2), dan (3) terbukti bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap n bilangan positif.
Karena langkah-langkah yang dibuktikan benar, berarti dapat dibuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 3^n ≥ 2n + 1.
Karena langkah-langkah yang dibuktikan benar, berarti terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 4k < 2^k.
Mengingat bahwa 3^2k – 1 habis dibagi 8, maka bentuk 9(3^2k-1) + 8 juga habis dibagi 8. Akibatnya kita dapatkan bahwa pernyataan benar untuk n = k+1, jadi pernyataan benar untuk setiap bilangan asli n.
Karena langkah-langkah yang dibuktikan benar, berarti dapat dibuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 3^2n + 2^2n+2 habis dibagi 5.
Demikian contoh soal induksi matematika kelas 11 lengkap dengan kunci jawaban. Semoga informasi di atas bermanfaat! (CHL)