Contoh Soal Eliminasi Gauss Lengkap dengan Pembahasannya

Ilustrasi contoh soal eliminasi Gauss, sumber foto Kyle Gregory Devaras on Unsplash

Dalam mata pelajaran matematika ada materi mengenai persamaan linier, untuk menyelesaikannya ada beberapa metode yang bisa digunakan. Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan operasi persamaan linier adalah menggunakan eliminasi Gauss. Pada artikel ini akan membahas mengenai pengertian dan contoh soal eliminasi Gauss lengkap dengan pembahasannya.

Contoh Soal Eliminasi Gauss Lengkap dengan Pembahasannya

Ilustrasi contoh soal eliminasi Gauss, sumber foto franco alva on Unsplash

Dikutip dari buku Mudah dan Aktif Belajar Matematika karya Tri Dewi Listya, (2005: 73) dijelaskan bahwa eliminasi Gauss-Jordan adalah metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode tersebut secara sistematis mengubah matriks yang berukuran besar ke dalam bentuk matriks tereduksi.

Metode Eliminasi Gauss Jordan dikembangkan oleh Karl Friedrich Gauss (1777 - 1885) dan Wilhelm Jordan (1842 1899). Gauss menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan sistem persamaan dalam bidang astronomi.

Ciri-ciri metode eliminasi Gauss adalah sebagai berikut:

1. Jika suatu baris tidak nol semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 atau I utama (pada baris pertama, kolom pertama)

2. Baris nol terletak paling bawah

3. 1 utama berikutnya berada di kanan 1 utama baris di atasnya ( pada baris ke-2, kolom ke-2)

4. Dibawah 1 utama harus nol

Berikut adalah contoh soal eliminasi Gauss lengkap dengan pembahasannya:

Ada suatu sistem persamaan linier, persamaannya adalah sebagai berikut:

2x + 3y - z = 6

x + 2y - 4z = 8

x + y + 4z = 4

Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan metode eliminasi gauss.

Pembahasan:

Pertama-tama adalah mengubah sistem persamaan ke dalam bentuk matriks:

( 2 3 -1 ) 6 )

( 1 2 -4 ) 8 )

( 1 1 4 ) 4 )

Selanjutnya adalah Mengubah baris pertama kolom pertama ( a11 ) menjadi angka 1

b1( 2 3 -1 ) 6 )

b2( 1 2 -4 ) 8 )

b3( 1 1 4 ) 4 )

Menjadi

( 1 1 3 ) -2 )

( 1 2 -4 ) 8 )

( 1 1 4 ) 4 )

Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi baris pertama ( b1 ) dan untuk bilangan lainnya tetap sama.

Selanjutnya adalah mengubah baris ke-2 pada kolom pertama ( a21 ) menjadi angka nol dan mengubah baris ke-2 pada kolom ke-2 ( a22 ) menjadi angka 1 menjadi

( 1 1 3 ) -2 )

( 0 1 -7 ) 10 )

( 1 1 4 ) 4 )

Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 ini akan menjadi baris ke-2 ( b2 ), nilai untuk bilangan lainnya tetap sama. Tahap selanjutnya adalah mengubah baris ke-3 pada kolom pertama ( a31 ) dan baris ke-3 pada kolom ke-2 ( a32 ) menjadi angka nol dan baris ke-3 pada kolom ke-3 ( a33 ) menjadi angka 1 menjadi:

( 1 1 3 ) -2 )

( 0 1 -7 ) 10 )

( 0 0 1 ) 6 )

Setelah melengkapi ciri - ciri dari eliminasi gauss dan mendapatkan matriks yang eselon baris, kita dapat melanjutkannya dengan mencari nilai variabel x, y dan z dengan mensubstitusikannya. Caranya yaitu :

b1( 1 1 3 ) -2 )

b2( 0 1 -7 ) 10 )

b3( 0 0 1 ) 6 )

Dari matriks diatas maka didapatkan SPL 3 variabel yang baru yaitu :

x + y + 3z = -2

y - 7z = 10

z = 6

Kemudian kita harus mensubstitusikan persamaan linear diatas untuk memperoleh nilai variabel x, y dan z. karena nilai z sudah diketahui yaitu :

z = 6

Maka, langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari variabel y dengan mensubtitusikannya dengan persamaan linear dengan persamaan pada baris ke-2.

y - 7z = 10

y - 7(6) = 10

y - 42 = 10

y = 10 + 42

y = 52

Dan terakhir kita akan mencari nilai dari variabel x dengan mensubstitusikannya dengan persamaan linear pada baris pertama.

x + y + 3z = -2

x + 52 + 3(6) = -2

x + 52 + 18 = -2

x + 70 = -2

x = -2 - 70

x =-72

Dengan ini maka, kita sudah mendapatkan nilai - nilai dari variabel diatas yaitu x = -72, y = 52 dan z = 6 .

Demikian adalah pembahasan mengenai contoh soal eliminasi gauss dan pembahasannya lengkap. (WWN)