Contoh Soal Perkalian Vektor dan Pembahasannya

Contoh Soal Perkalian Vektor dan Pembahasannya, Foto: Unsplash/Fractal Hassan

Operasi vektor di dalam fisika tidak hanya terbatas pada penjumlahan dan pengurangan, tetapi juga mencakup contoh soal perkalian vektor, baik dengan saklar, titik, maupun secara silang.

Mengutip buku Matematika untuk SMK Kelas XI susunan Dini Afriyanti (2006), besaran vektor adalah besaran selain memiliki besar (nilai) juga memiliki arah. Contohnya yaitu perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan medan listrik.

Berikut ini penjelasan tentang besaran vektor beserta macam-macam dan contoh soalnya yang bisa Anda simak.

Macam-Macam Perkalian Vektor

Ilustrasi Matematika dan fisika. Foto: Faizal Ramli/Shutterstock

Secara umum, perkalian vektor terdiri dari tiga jenis, yaitu perkalian vektor skalar dan perkalian silang. Dirangkum dari buku Persiapan UN Fisika untuk SMA/MA susunan Ahmad Fauzi (2008), berikut penjelasannya:

1. Perkalian vektor dengan skalar (dot product)

Perkalian skalar dari dua buah vektor akan menghasilkan sebuah besaran skalar. A.B = C, dengan C merupakan besaran skalar. Maka, hasil perkalian skalar dua vektor dapat dituliskan menjadi:

2. Perkalian silang (cross product)

Perkalian vektor silang antara dua buah vektor hasilnya adalah sebuah vektor. A x B = C, dengan C merupakan besaran vektor. Maka, hasilnya dapat dituliskan menjadi:

Pada perkalian silang, jika vektor A dan vektor B berada dalam sebuah bidang α, maka hasil perkaliannya, yaitu vektor C ataupun -C tegak lurus terhadap bidang α.

Baca juga: 3 Contoh Soal Vektor Fisika Lengkap dari Vektor Posisi Vektor Kecepatan

3 Contoh Soal Perkalian Vektor Titik dan Jawabannya

Contoh Soal Perkalian Vektor dan Pembahasannya, Foto: Unsplash/Sunder Muthukumaran

Inilah contoh soal perkalian vektor titik fisika dan jawabannya yang disadur dari buku Cerdas Belajar Fisika, Kamajaya, (2007:64-65):

1. Tentukan hasil perkalian titik antara dua vektor satuan A = 2i + 3j + 5k dan B = 4i + 2j – k

Jawaban:

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

A . B = (2)(4) + (3)(2) + (5)(-1)

A . B = 8 + 6 – 5

A . B = 9

Jadi, hasil perkalian vektor di atas adalah: 9.

2. Vektor gaya dan perpindahan masing-masing memiliki persamaan F = (i + j + k) N dan s = (3i + 4j + 6k) m. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya itu!

Diketahui:

F = (i + j + k)

s = (3i + 4j + 6k)

Ditanya: usaha (W)

Jawaban:

Usaha adalah hasil perkalian titik antara gaya dengan perpindahan, maka:

W = F . s

W = (i + j + k) . (3i + 4j + 6k)

W = (1)(3) + (1)(4) + (1)(6)

W = 3 + 4 + 6

W = 13

Jadi, usaha yang dilakukan oleh gaya itu adalah 13 joule.

3. Ada 2 buah vektor dengan persamaan berikut:

a = 4i + 3j – k

b = -i – 2j + 3k

Hitunglah sudut antara vektor a dan vektor b!

Besar vektor a:

|a| = √[(4)2 + (3)2 + (-1)2]

|a| = √(16 + 9 + 1)

|a| = √26

Besar vektor b:

|b| = √[(-1)2 + (-2)2 + (3)2]

|b| = √(1 + 4 + 9)

|b| = √14

Besar perkalian titik vektor a . b:

a . b = AxBx + AyBy + AzBz

a . b = (4)(-1) + (3)(-2) + (-1)(3)

a . b = -4 – 6 – 3

a . b = -13

Perkalian titik menghasilkan besaran skalar, maka nilai perkalian titik harus selalu positif, sehingga:

a . b = 13

Dengan perkalian titik, maka sudut antara vektor a dan b adalah:

a . b = |a||b| cos θ

13 = (√26)(√14) cos θ

13 = √364 cos θ

13 = 19 cos θ

cos θ = 13/19

cos θ = 0,68

θ = arc cos 0,68

θ = 47o

Jadi, sudut antara vektor a dan vektor b adalah 47o.

Setelah menyimak 3 soal perkalian vektor dan jawabannya di atas, untuk lebih memahaminya, silakan kerjakan soal perkalian vektor lainnya.

Baca juga: Mengenal Vektor dengan Memahami 3 Contoh Soal Vektor Posisi

(BRP)