Contoh Soal Persamaan Trigonometri Lengkap dengan Pembahasannya

Ilustrasi perhitungan persamaan trigonometri. Foto: unsplash.com/_purianoushka

Trigonometri merupakan salah satu materi Matematika yang menjadi momok para siswa jenjang SMA. Sebab, materi ini memerlukan beberapa fungi dalam menyelesaikan sebuah soal. Nah, untuk memudahkan kamu dalam mempelajari materi yang satu ini, berikut contoh soal persamaan trigonometri lengkap dengan pembahasannya.

Contoh Soal Persamaan Trigonometri Lengkap dengan Pembahasannya

Sebelum ke pembahasan contoh soal, terlebih dahulu kita mengetahui mengetahui rumus-rumus identitas dalam trigonometri. Rumus-rumus dalam trigonometri adalah rumus yang menghubungkan sin A, cos A, dan tan A. Adapun rumus dari identitas trigonometri yang dikutip dari buku Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian karya Dini Afriyanti (2008:8), yakni:

• cos² a + sin² a = 1

• sin² a = 1 – cos² a

• cos² a = 1 – sin² a

• tan a = sin a / cos a

Sementara itu rumus untuk persamaan trogonometri sederhana dapet diselesaikan dengan rumus berikut:

1. sin x = sin a°

maka

x₁ = a + k . 360°, k ≡ bilangan bulat

x₂ = (180 – a) + k . 360°

2. cos x = cos a°

maka:

x₁ = a + k . 360°. k

x₂ = - a + k . 360°, k ≡ bilangan bulat

3. tan x° = tan a°

maka:

x₁ = a + k . 180, k ≡ bilangan bulat

Contoh Pertama

sin x = ½

sin x = sin 30

maka

x₁ = a + k . 360°

= 30° + k . 360°

Untuk k = 0 maka x₁ = 30 + 0 . 360° = 30°

k = 1 maka x₁ = 30 + 1 . 360° = 390°

maka

x₂ = (180° - a) + k . 360°

= (180° - 30°) + k . 360°

Untuk k = 0 maka x₁ = (180° - 30°) + 0 . 360° = 150°

k = 1 maka x₁ = (180° - 30°) + 1 . 360° = 510°

Sehingga, himpunan penyelesainnya adalah (30°, 150°)

Ilustrasi persamaan trigonometri. Foto: unsplash.com/dancristianpaduret

Contoh Kedua

Tentukan himpunan penyuelesaian sin 4x + sin 2x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360

Jawab

sin 4x + sin 2x = 0

2 sin ½ (4x+2x) cos ½ (4x-2x) = 0

2 sin 3x cos x = 0

Sin 3x cos x = 0

Sin 3x = 0 atau cos x = 0

Maka sin 3x = 0 diperoleh

3x = 0 + k . 360°

x = 0 + k . 120°

untuk k = 0 maka x = 0 + 0 . 120° = 0

k = 1 maka x = 1 + 1 . 120° = 120°

k = 2 maka x = 2 + 2 . 120° = 240°

k = 3 maka x = 3 + 3 . 120° = 360°

atau 3x = 180° + k . 360°

x = 60° + k . 120°

untuk k = 0 maka x = 60° + 0 . 120° = 60°

k = 1 maka x = 60° + 1 . 120° = 180°

k = 2 maka x = 60° + 2 . 120° = 300°

k = 3 maka x = 60° + 3 . 120° = 420°

maka cos x = 0

x = 90°

x = 90° + k . 360°

x = 45° + k . 180°

untuk k = 0 maka x = 90° + 0.360° = 90°

k = 1 maka x = 90° + 1 . 360° = 450°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (0°, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 30°0°, 360°)

Penyelesaian Persamaan Kuadrat Sinus, Cosinus, dan Tangen

• a sin² x + b sin x + c = 0

• a cos² x + b cos x + c = 0

• a tan² x + b tan x + c = 0

dengan a, b, c ≡ bilangan real, a ≠ 0

Contoh

Sin² x + 2 sin x + 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab

Misalkan p = sin x

Sehingga Sin² x + 2 sin x + 1 = 0

= p² + 2p + 1 = 0

= (p + 1)(p +1) = 0

= p = -1

p = sin x = -1

sin x = sin (-90°)

x - -90° + k . 360°

k = 1 maka x = -90 + 1 . 360° = 270°

Sehingga, himpunan penyelesaiannya adalah (270°)

Jadi, sekarang sudah tahu cara menyelesaikan hitungan penersamaan trigonometri bukan?(MZM)