Pengertian dan Hukum Aljabar Boolean dalam Sistem Digital Modern

Ilustrasi penerapan aljabar Boolean. Foto: unsplash.com/sigmund

Pada era digital seperti saat ini, kita dimudahkan dengan berbagai perangkat elektronik. Meski begitu, dalam membuat rangkaian tidak selalu mudah. Maka dari itu dibutuhkanlah sebuah alat untuk mempermudah dalam malakukan serangkaian logika digital. Salah satunya adalah dengan aljabar Boolean. Nah, dalam artikel kali ini akan memaparkan informasi mengenai pengertian dan hukum aljabar Boolean.

Pengertian dan Hukum Aljabar Boolean dalam Sistem Digital Modern

Aljabar Boolean dicetus oleh seorang filsuf dan matematikawan asal Inggris yang bernama George Boole. Penemuannya berupa aljabar memiliki kontribusi banyak dalam ilmu komputer. Bahkan, hampir sebuah bahasa pemrograman mengenal tipe daat Boolean.

Karekteristik aljabar Boolean yang hanya mengenal dua nilai, yaitu 0 dan 1 digunakan dalam perancangan rangkaian listrik dan elektronik hingga saat ini. Aljabar Boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi logik. Variabel-variabel diperhatikan dengan huruf alfabet dan tiga operasi dasar AND, OR, dan NOT.

Fungsi Boolean terdiri dari variabel biner yang menunjukkan fungsi suatu tanda sama dengan dan suatu ekspresi aljabar dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta 0 dan 1, serta simbol operasi logika dan tanda kurung.

Misalnya: terdapat dua operator biner “+ (dibaca: OR)” dan “. (dibaca: AND)”, sebuah operator “’ (dibaca: NOT)” serta himpunan B yang didefinisikan pada operator + , . , dan ‘ , juga 0 dan 1 yang merupakan dua elemen berbeda dari B, maka ...

Tupel (urutan): (B, +, ., ‘) disebut dengan aljabar Boolean jika disetiap a, b, c ≡ B berlaku aksioma (pernyataan) atau postulat Huntington sebagai berikut:

1. Closure

a + b ≡ B

a . b ≡ B

2. Identitas

a + 0 = a

a . 1 = a

3. Komuntatif

a + b = b + a

a . b = b . a

4. Distributif

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

a + (b . c) = (a + b)(a + c)

5. Komplemen

a + a’ = 1

a . a’ = 0

6. Terdapat paling sedikit dua buah elemen, yaitu a dan b ≡ B, sedemikian sehingga a ≠ b.

Ilustrasi penggunaan aljabar Boolean. Foto: unsplash.com/sigmund

Hukum Aljabar Boolean

Dikutip dari buku Logika Matematika oleh Walidatush Sholihah (2020:104), hukum-hukum aljabar Boolean yakni:

1. Hukum identitas:

(i) a + 0 = a

(ii) a . 1 = a

2. Hukum idempoten:

(i) a + a = a

(ii) a . a = a

3. Hukum komplemen:

(i) a + a’ = 1

(ii) aa’ = 0

4. Hukum dominansi:

(i) a . 0 = 0

(ii) a + 1 = 1

5. Hukum involusi:

(i) (a’)’ = a

6. Hukum penyerapan:

(i) a + ab = a

(ii) a(a + b) = a

7. Hukum komutatif:

(i) a + b = b + a

(ii) ab = ba

8. Hukum asosiatif:

(i) a + (b + c) = (a + b) + c

(ii) a (b . c) = (a . b)c

9. Hukum distributif:

(i) a + (bc) = (a + b) (a + c)

(ii) a (b + c) = a.b + a.c

10. Hukum De Morgan:

(i) (a + b)’ = a’ . b’

(ii) (ab)’ = a’ + b’

11. Hukum 0/1

(i) 0’ = 1

(ii) 1’ = 0

Contoh Pertama

Buktikan bahwa a + a'.b = a + b !

Jawab

a + a'b

= (a+ab) + a'b (Penyerapan)

= a + (ab + a'b) (Asosiatif)

= a + (a + a')b (Distributif)

= a + a.b (Komplemen)

= a + b (Identitas)

Contoh Kedua

Buktikan bahwa a(a'+b) = a.b!

Jawab

a(a' + b) (Distributif)

= aa' + ab (Komplemen)

= 0 + ab (Identitas)

= ab

Contoh Ketiga

Misalkan x, y, z eB, buktikan bahwa x = xyz + xyz' + xy'z + xy'z'

Jawab

= xy(z + z') + xy'(z + z') (Distributif)

= xy. 1 + xy' . 1 (Komplemen)

= xy + xy' (Distributif)

= x(y + y') (Komplemen)

= x.1 (Identitas)

= x

Nah, sekarang sudah mengetahui gambaran umum tentang aljabar Boolean bukan. Sebagai aljabar yang banyak digunakan di sitem digital modern, maka pelajari secara mendalam karena pengetahuan ini sangat bermanfaat di kemudian hari.(MZM)