Pengertian Induksi Matematika dan Contoh Soalnya

https://unsplash.com/@anniespratt - pengertian induksi matematika

Dalam pelajaran matematika di bangku sekolah, kamu pasti pernah bertemu dengan pengertian induksi matematika dan contoh-contoh soalnya.

Namun, sebenarnya apa ya pengertian induksi matematika tersebut?

Selama ini, mungkin ada sebagian orang yang beranggapan bahwa induksi matematika merupakan suatu metode pencarian rumus. Padahal, sebenarnya tidak seperti itu.

Pengertian Induksi Matematika

Pengertian induksi matematika adalah sebagai salah satu teknik pembuktian dalam matematika yang biasa digunakan untuk membuktikan pernyataan khusus yang mengandung bilangan asli. Pembuktian menggunakan cara ini menghasilkan kesimpulan yang bersifat umum.

Mengutip dari Induksi Matematika dan Teorema Binomial, Drs. Sukirman, M.Pd, pengertian induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian dari banyak teorema dalam teori bilangan ataupun dalam materi matematika lainnya.

Dalam pembuktian menggunakan induksi matematika, nantinya akan diperoleh kesimpulan yang bersifat umum. Terdapat dua jenis penalaran yang digunakan untuk memperoleh kesimpulan yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif.

ilustrasi induksi matematika. https://unsplash.com/@antoine1003

Penalaran deduktif adalah penalaran yang dimulai dari pernyataan bersifat umum ke pernyataan khusus. Pendekatannya disebut pendekatan umum-khusus karena penalaran dimulai dari hal yang umum kemudian menyimpulkan hal khusus.

Contohnya, semua apel adalah buah, semua buah tumbuh di pohon, jadi semua apel tumbuh di pohon.

Sedangkan, penalaran induktif adalah penalaran yang dimulai dari pernyataan khusus ke pernyataan umum. Karena pernyataan disusun dari hal-hal khusus untuk mendapatkan kesimpulan yang berlaku umum.

Contohnya, penumpang bus mengamati bahwa setiap pengemudi bus menginjak pedal rem, seluruh penumpang dalam bus akan terdorong ke depan.

Penerapan induksi matematika terdapat pada berbagai cabang ilmu matematika. Hipotesis yang disusun dalam matematika perlu dibuktikan agar dapat berlaku umum. Sebuah hipotesis dapat berlaku umum jika terbukti benar untuk semua nilai bilangan yang digunakan.

Contoh Soal Penerapan Induksi Matematika

Berikut merupakan contoh soal dari penerapan pengertian induksi matematika, yaitu:

1. Buktikan bahwa jumlah dari deret bilangan ganjil ke –n adalah n2. n adalah bilangan asli.

Penyelesaian:

Pn= 1+3+5+7+…..+ (2n – 1) = n2 berlaku untuk setiap n € A

Langkah dasar:

Untuk n = 1, diperoleh P1 = 1 = 12 adalah benar.

Langkah induksi:

Misalkan untuk n = k, Pk bernilai benar. Akan ditunjukan bahwa untuk n = k+1, P(k+1) = (k+1)2 bernilai benar.

Perhatikan langkah berikut:

Untuk n = k, maka Pk = 1+3+5+7+…+ (2k – 1) = k2 bernilai benar.

Dengan menambahkan [2(k+1)-1] pada kedua ruas, maka

P(k+1) = 1+2+3+…(2k + 1) + [2(k+1)-1] = k2 + [2(k+1) – 1]

= k2 + 2k + 2 – 1

= k2 + 2k +1

= (k+1)2 (terbukti)

2. Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan asli. Pernyataan P(n) dapat dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematika.

Langkah-langkah pembuktiannya:

Buktikan bahwa P(1) benar atau P(n) berlaku untuk n = 1.

Andaikan P (k) benar maka tunjukkan P (k + 1) benar untuk setiap bilangan bulat positif k.

Jika langkah (1) dan (2) benar maka dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Langkah 1 disebut langkah basis, sedangkan langkah 2 disebut langkah induksi.

Demikian penjelasan singkat mengenai pengertian induksi matematika dan contoh soal beserta langkah penyelesaiannya. (DNR)