Himpunan Penyelesaian, Begini Cara yang Mudah Dimengerti

Ilustrasi belajar Matematika. Foto: iStock

Pada pelajaran Matematika SMA, kamu akan belajar mengenai himpunan penyelesaian.

Rumus himpunan penyelesaian digunakan untuk mengetahui pertidaksamaan linier dua variabel dan kuadrat dua variabel.

Mengutip dari e-Modul Matematika terbitan Direktorat Pembinaan SMA Kemdikbud, prinsip penyelesaian himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel atau kuadrat dua variabel akan sering dijumpai pada rancangan proyek bangunan.

Penyelesaian himpunan ini merupakan sebuah metode untuk menyelesaikan suatu optimasi. Optimasi di sini adalah teknik untuk memaksimalkan atau meminimalisir suatu permasalahan pada fungsi.

Supaya kamu lebih memahaminya, berikut adalah penjelasan mengenai himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel dan kuadrat dua variabel:

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linier merupakan bentuk dari pertidaksamaan yang jika digambarkan dalam diagram koordinat akan membentuk suatu garis lurus.

Salah satu cara untuk memahami materi ini adalah mengerjakan contoh soal himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel.

Diberikan bentuk pertidaksamaan x - 2y ≤ -2 dengan x dan y adalah bilangan real. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variabel di bawah ini!

Penyelesaian:

Langkah 1: menentukan titik potong pada sumbu x, berarti y = 0.

x - 2y = -2

x - 2.0 = -2

x = -2

Titik sumbu x adalah (-2, 0)

Langkah 2: menentukan titik potong pada sumbu y, berarti x = 0.

x - 2y = -2

0 - 2y = -2

-2y = -2

y = 1

Titik sumbu y adalah (0, 1)

Langkah 3: ambil sembarang titik misalnya (0,0) dan substitusikan dalam pertidaksamaan x - 2y ≤ -2 untuk memenuhi atau tidak.

0 - 2.0 ≤ -2

0 ≤ -2, tidak memenuhi

Langkah 4: menggambar grafik yang melewati titik (-2, 0) dan (0, 1). Karena titik (0,0) tidak terpenuhi, maka daerah yang terdapat titik (0,0) bukanlah himpunan penyelesaiannya.

Daerah himpunan penyelesaian x - 2y ≤ -2. Foto: Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum terbitan Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

Jadi, himpunan penyelesaian linear dua variabel pada persamaan x - 2y ≤ -2 adalah daerah yang diarsir pada gambar di atas (area berwarna ungu).

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Sekarang, mari kita belajar mengenai himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dua variabel.

Caranya hampir sama dengan cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear sebelumnya.

Ingatlah mengenai sifat bentuk grafik pertidaksamaan kuadrat dua variabel berikut ini:

Berikut adalah contoh soal pertidaksamaan kuadrat dua variabel agar kamu semakin paham materi tersebut.

Diberikan pertidaksamaan kuadrat dua variabel y > x^2 – 4x +5. Kemudian, tentukan himpunan penyelesaian dari kuadrat variabel di bawah ini:

Penyelesaian:

Langkah 1: menentukan bentuk kurva akan terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. Karena a > o maka bentuk grafik terbuka ke atas.

Langkah 2: menentukan titik puncaknya.

Jika ingin menentukan titik puncaknya, kamu bisa menggunakan rumus berikut ini:

x = -b/2a

x = -(-4)/2.1

x = 2

y = -[(b^2 - 4ac)/4a]

y = -[(-4^2 - 4.1.5)/4.1]

y = -[(16-20)/4]

y = -[-4/4]

y = 1

Jadi, titik puncaknya ada di (2, 1)

Langkah 3: menentukan titik lain yang dilewati.

Jika x = 0, maka:

y = 0^2 – 4.0 +5

y = 5

Maka, nantinya ada titik yang melewati (0, 5).

Langkah 4: menentukan daerah himpunan penyelesaian dengan mensubstitusi titik (0, 0).

y > x^2 – 4x + 5

0 > 0^2 - 4.0 + 5

0 > 5, tidak memenuhi.

Sehingga, titik (0,0) tidak termasuk himpunan penyelesaian.

Langkah 5: menggambar grafik.

Sekarang gambar grafik himpunan penyelesaian dari titik-titik yang sudah dicari sebelumnya.

Daerah himpunan penyelesaian y > x^2 – 4x +5. Foto: Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum terbitan Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

Jadi, himpunan penyelesaian linear dua variabel pada persamaan y > x^2 – 4x +5 adalah daerah yang diarsir pada gambar di atas (area berwarna ungu).

Sekarang kamu sudah bisa mengerjakan persoalan mengenai himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dan kuadrat dua variabel. Perbanyaklah berlatih dengan mengerjakan soal di atas.

(NSF)