Persamaan Lingkaran, Kenali Bentuk Umum dan Contohnya

Ilustrasi murid belajar Matematika. Foto: Unsplash

Pada artikel ini, kita akan membahas persamaan lingkaran dalam Matematika. Lingkaran adalah bangun datar yang berisi titik-titik dengan jarak yang sama pada titik tertentu.

Titik tertentu tersebut disebut dengan titik pusat lingkaran. Jarak titik pusat lingkaran ke titik pada lingkaran disebut dengan jari-jari.

Pada pelajaran Matematika SMP, kamu akan mempelajari konsep lingkaran berupa luas, keliling, panjang tali busur, luas juring, dan garis singgung. Namun, kali ini kita akan membahas persamaan lingkaran yang lebih spesifik.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r

Perhatikan gambar lingkaran di bawah ini. Misalnya, kita mengambil titik sembarang, yaitu P(x, y), di mana jari-jari adalah r.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras, maka dapat ditentukan rumus persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan berjari-jari r.

Gambar dan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, 0). Foto: Buku Matematika Peminatan terbitan Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN.

Mari kita kerjakan contoh soal Matematika di bawah ini agar lebih memahami persamaan lingkaran, dikutip dari Buku Matematika Peminatan:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan melalui titik (6, −8).

Penyelesaian:

Diketahui titik (x,y) yaitu (6, -8), sehingga:

x^2 + y^2 = r^2

6^2 + (-8)^2 = r^2

36 + 64 = r^2

100 = r^2

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x^2 + y^2 = 100.

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di M(a, b) dan Berjari-jari r

Jika diketahui suatu lingkaran dengan pusatnya di M(a, b) dan berjari-jari r. Maka, persamaan lingkarannya dapat dilihat dari gambar di bawah ini. Di mana, terdapat titik P(x, y) di sembarang titik pada lingkaran dengan jari-jari MP adalah r dan panjang MQ = x - a dan PQ = y -b.

Gambar dan persamaan lingkaran yang berpusat di M (a, b). Foto: Buku Matematika Peminatan terbitan Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN.

Persamaan di atas merupakan bentuk baku dari persamaan lingkaran yang bisa digunakan untuk lingkaran dengan pusat di titik manapun.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, −5) dan memiliki jari-jari 6!

Penyelesaian:

(x – a)^2 + (y – b)^2 = 6^2

(x – 4)^2 + (y – (-5))^2 = 6^2

(x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 36

Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 36.

C. Persamaan Umum Lingkaran

Melihat bentuk baku persamaan lingkaran di atas, kita bisa menentukan bentuk umum persamaan lingkaran. Persamaan umum ini bisa digunakan untuk menentukan persoalan lingkaran dengan titik pusat dan jari-jari yang berbeda-beda.

Persamaan umum lingkaran dapat dituliskan secara Matematika melalui rumus di bawah ini:

Persamaan umum lingkaran. Foto: Buku Matematika Peminatan terbitan Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN.

Maka, pusat lingkaran adalah (-1/2 A, -1/2 B) dan jari-jari adalah √(1/4 A^2 + 1/4 B^2 - C).

Berapa pusat dan jari-jari lingkaran L = x^2 + y^2 − 6x + 4y − 3 = 0?

Penyelesaian:

Diketahui nilai A = -6, B = 4, dan C = -3.

Pusat lingkaran

Pusat lingkaran = (-1/2 A, -1/2 B)

Pusat lingkaran = (-1/2 (-6), -1/2 (4))

Pusat lingkaran = (3, -2).

Jari-jari

Jari-jari = √(1/4 A^2 + 1/4 B^2 - C)

Jari-jari = √(1/4 (-6)^2 + 1/4 4^2 - (-3))

Jari-jari = √(9 + 4 + 3)

Jari-jari = √16

Jari-jari = 4

Jadi, pusat lingkarannya berada di titik (3, -2) dan jari-jarinya 3.

Itulah penjelasan mengenai persamaan lingkaran dalam pelajaran Matematika di SMA. Semoga penjelasan di atas dapat membantu kamu dalam mempelajari persamaan lingkaran.

(NSF)