Rumus Deret Geometri Tak hingga: Golongan dan Contoh Soal

Ilustrasi belajar Matematika. Foto: Katerina Holmes via Pexels

Pada pelajaran Matematika kelas 3 SMA, kamu akan belajar rumus deret geometri tak hingga. Deret geometri sendiri merupakan jumlah dari seluruh data pada barisan geometri.

Ketika diberikan suatu barisan geometri U1, U2, U3, ... , Un, maka deret geometrinya adalah U1 + U2 + U3 + ... + Un.

Secara umum, U1 adalah a atau angka awal pada suatu barisan geometri. Lalu, U2 adalah ar, dengan r yang merupakan rasio.

Misalnya, pada suatu barisan geometri 4, 12, 36, dan seterusnya. Rasio pada barisan tersebut adalah 12/4 = 3 atau 36/12 = 3.

Pada sub-bab deret geometri, terdapat deret geometri berhingga dan deret geometri tak berhingga. Kali ini, kita akan belajar mengenai rumus rasio deret geometri tak hingga di bawah ini:

Rumus Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal

Mengutip buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, deret geometri tak hingga merupakan suatu deret geometri yang memiliki suku berjumlah tak hingga.

Secara matematis, rumus jumlah deret geometri tak hingga dapat ditulis sebagai berikut:

Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Berdasarkan nilai r dan n = ∞, rumus deret geometri tak hingga digolongkan menjadi divergen dan konvergen.

1. Rumus Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret divergen diartikan sebagai suatu deret yang sifatnya menyebar, yaitu deret yang tidak memiliki kecenderungan pada suatu nilai tertentu.

Sehingga, deret divergen merupakan deret yang tidak memiliki limit. Jadi, rentang rasio pada deret divergen adalah r > 1 dan r < -1.

Meliaht contoh di atas, maka dapat diperoleh rumus deret geometri divergen adalah:

Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Artinya, seluruh deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 akan mendapatkan hasil ± ∞.

2. Rumus Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret geometri konvergen merupakan deret geometri tak hingga yang memiliki rentang antara –1 < r < 1.

Artinya, deret geometri ini memiliki limit. Sehingga, nilai rasio akan semakin kecil dan mendekati nol.

Jika n = ∞ hasil r^n = 0. Maka, rumus deret geometri konvergen dapat diperoleh menjadi:

Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Sekarang, mari kita mengerjakan contoh soal Matematika untuk pembuktian rumus deret geometri tak hingga berikut ini:

Berapakah hasil deret geometri berikut ini?

2 + 2/3 + 2/9 + ...

Penyelesaian:

a = 2 dan r = 1/3. Artinya, r berada dalam rentang -1 < r < 1, sehingga kita menggunakan rumus deret geometri konvergen.

S∞ = a / (1 - r)

S∞ = 2 / (1 - (1/3))

S∞ = 3

Jadi, hasil deret geometri tak hingga adalah 3.

Ilustrasi mengerjakan soal Matematika. Foto: iStock

Hitunglah deret geometri di bawah ini!

1, -2, 4, -8, ....

Penyelesaian:

a = 1 dan r = -2. Artinya r < -1, maka r^n = –∞.

S∞ = (a/(1+2)) - ((a-∞)/(1+2))

S∞ = (a/3) - (-∞/3)

S∞ = (a/3) - (-∞)

S∞ = ∞

Jadi, hasil deret geometri tersebetu adalah ∞.

Itulah cara menyelesaikan rumus deret geometri tak hingga untuk deret divergen dan konvergen. Selamat mencoba!

(NSF)