Contoh Soal Limit Tak Hingga beserta Penjelasannya
·waktu baca 4 menit
Tulisan dari Berita Update tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarDalam matematika, ada materi yang membahas tentang limit tak hingga. Secara sederhana, limit tak hingga adalah kajian yang tepat dalam mengetahui kecenderungan suatu fungsi apabila nilai variabelnya dibuat semakin besar.
Limit tak hingga adalah saat kita menjumpai limit di mana nilai x mendekati tak hingga yakni lim x → ∞ f(x). Apabila dikatakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.
Dalam buku Rahasia Memahami Limit oleh Ria Putri Yanti (2021), dijelaskan bahwa dengan konsep limit tak hingga ini, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai variabel atau pengubahnya dibuat semakin besar atau bertambah besar tanpa batas atau x menuju tak hingga, dinotasikan dengan x→∞.
Rumus Limit Tak Hingga
Berikut adalah rumus-rumus yang berguna untuk menghitung limit tak hingga dengan bentuk polinomial, pecahan, dan trigonometri.
Rumus Limit Tak Hingga dengan Bentuk Polinomial
Rumus ini digunakan untuk menghitung nilai limit saat variabel x mendekati tak hingga dalam fungsi polinomial. Bentuk polinomial dalam variabel x pangkat tertinggi satu dikenal sebagai fungsi linier atau garis lurus.
Nilai limit yang dihasilkan dari bentuk ini bergantung pada pangkat tertinggi dari polinomialnya. Limit fungsi yang memiliki variabel x, akan berpengaruh secara langsung dalam fungsi f(x).
Jika pangkat tertinggi pada polinomial adalah positif, misalnya f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, maka nilai limit tak hingga akan tergantung pada koefisien aₙ. Berikut rumusnya:
Keterangan:
Jika aₙ > 0, maka saat x mendekati tak hingga, nilai fungsi juga akan mendekati tak hingga positif (+∞).
Keterangan:
Jika aₙ < 0, maka saat x mendekati tak hingga, nilai fungsi akan mendekati tak hingga negatif (-∞).
Rumus Limit Tak Hingga dalam Bentuk Pecahan
Rumus ini digunakan untuk menghitung nilai limit saat variabel x mendekati tak hingga dalam suatu fungsi pecahan. Untuk mengerjakannya, perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut. Berikut rumusnya:
Keterangan:
Jika m < n, saat x mendekati tak hingga, pembilang akan mendekati nol, sedangkan penyebut akan mendekati tak hingga. Nilai limit tak hingga dalam bentuk pecahan akan menjadi nol.
Jika m = n, yakni pangkat tertinggi pembilang dan penyebut sama, maka dapat menggunakan koefisien dari pangkat tertinggi sebagai penentu nilai limit tak hingga, yaitu a/p.
Jika m > n, yakni pangkat tertinggi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi penyebut, maka nilai limit tak hingga dalam bentuk pecahan akan menjadi tak hingga (∞).
Rumus Limit Tak Hingga dalam Bentuk Trigonometri
Rumus ini digunakan untuk menghitung nilai limit ketika variabel x mendekati tak hingga dalam fungsi trigonometri. Salah satu contoh rumus limit tak hingga dalam bentuk trigonometri yang sering digunakan, yaitu:
lim x → ±∞ (sin x / x) = 0
Keterangan:
Ketika x mendekati tak hingga, nilai sinus x cenderung berayun di antara -1 dan 1, sedangkan nilai x semakin besar dan menuju tak hingga.
Hasil limit dari sin x / x saat x mendekati tak hingga adalah 0. Artinya, nilai limit fungsi tersebut mendekati nol ketika variabel x menuju tak hingga.
Baca Juga: 2 Contoh Soal Limit Tak Hingga Trigonometri dan Pembahasannya
Contoh Soal Materi Limit Tak Hingga
Penerapan limit tak hingga dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, limit fungsi ini merupakan pengembangan dari Limit Fungsi Aljabar.
Limit Fungsi Aljabar merupakan dasar dalam matematika untuk mempelajari Limit Fungsi Trigonometri, Diferensial Fungsi (Turunan), hingga Integral Fungsi.
Diberikan sebuah fungsi f(x) = 1/x2. Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jika nilai x semakin besar ? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita amati nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x berikut.
x = 1 → f(x) = 1
x = 10 → f(x) = 0,01
x = 100 → f(x) = 0,0001
x = 1000 → f(x) = 0,000001
Beriku contoh soal matematika mengenai limit tak hingga yang bisa dipahami:
1. Tentukan nilai limit fungsi aljabar tak hingga berikut ini:
2. Tentukan hasil dari :
Dari penjelasan dan contoh soal di atas, bisa disimpulkan bahwa pengertian limit fungsi di tak hingga adalah sebagai berikut :
a. Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk x yang terus membesar menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit L untuk x mendekati ∞ dan ditulis L xf )(lim x = ∞→ (dibaca limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan L).
b. Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk x menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→ )(lim x xf (dibaca limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞).
c. Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk x menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ − untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→ - )(lim x xf (dibaca limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞ − ).
Itulah pengertian dan contoh soal limit tak hingga dalam matematika beserta penjelasannya. Semoga bermanfaat.
(DNR & SFR)
Frequently Asked Question Section
Apa yang dimaksud dengan limit tak hingga?
Apa yang dimaksud dengan limit tak hingga?
Limit tak hingga adalah saat kita menjumpai limit di mana nilai x mendekati tak hingga yakni lim x → ∞ f(x).
Apa kegunaan limit tak hingga dalam matematika?
Apa kegunaan limit tak hingga dalam matematika?
Dengan konsep limit tak hingga ini, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai variabel atau pengubahnya dibuat semakin besar atau bertambah besar tanpa batas atau x menuju tak hingga, dinotasikan dengan x→∞.
Apa rumus limit tak hingga dalam bentuk geometri?
Apa rumus limit tak hingga dalam bentuk geometri?
Salah satu contoh rumus limit tak hingga dalam bentuk trigonometri yang sering digunakan, yaitu: lim x → ±∞ (sin x / x) = 0.