Contoh Soal Limit Tak Hingga beserta Penjelasannya

Ilustrasi mengerjakan soal matematika. Foto: Unsplash

Dalam matematika, ada materi yang membahas tentang limit tak hingga. Secara sederhana, limit tak hingga adalah kajian yang tepat dalam mengetahui kecenderungan suatu fungsi apabila nilai variabelnya dibuat semakin besar.

Limit tak hingga adalah saat kita menjumpai limit di mana nilai x mendekati tak hingga yakni lim x → ∞ f(x). Apabila dikatakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.

Dalam buku Rahasia Memahami Limit oleh Ria Putri Yanti (2021), dijelaskan bahwa dengan konsep limit tak hingga ini, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai variabel atau pengubahnya dibuat semakin besar atau bertambah besar tanpa batas atau x menuju tak hingga, dinotasikan dengan x→∞.

Rumus Limit Tak Hingga

Ilustrasi mengerjakan soal matematika tentang limit tak hingga. Foto: Pexels

Berikut adalah rumus-rumus yang berguna untuk menghitung limit tak hingga dengan bentuk polinomial, pecahan, dan trigonometri.

Rumus Limit Tak Hingga dengan Bentuk Polinomial

Rumus ini digunakan untuk menghitung nilai limit saat variabel x mendekati tak hingga dalam fungsi polinomial. Bentuk polinomial dalam variabel x pangkat tertinggi satu dikenal sebagai fungsi linier atau garis lurus.

Nilai limit yang dihasilkan dari bentuk ini bergantung pada pangkat tertinggi dari polinomialnya. Limit fungsi yang memiliki variabel x, akan berpengaruh secara langsung dalam fungsi f(x).

Jika pangkat tertinggi pada polinomial adalah positif, misalnya f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, maka nilai limit tak hingga akan tergantung pada koefisien aₙ. Berikut rumusnya:

Ilustrasi rumus limit tak hingga dengan hasil tak hingga positif. Foto: Dok. Istimewa

Keterangan:

Ilustrasi rumus limit tak hingga dengan hasil tak hingga negatif. Foto: Dok. Istimewa

Keterangan:

Rumus Limit Tak Hingga dalam Bentuk Pecahan

Rumus ini digunakan untuk menghitung nilai limit saat variabel x mendekati tak hingga dalam suatu fungsi pecahan. Untuk mengerjakannya, perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut. Berikut rumusnya:

Ilustrasi rumus limit tak hingga dalam bentuk pecahan. Foto: Dok. Istimewa

Keterangan:

Rumus Limit Tak Hingga dalam Bentuk Trigonometri

Rumus ini digunakan untuk menghitung nilai limit ketika variabel x mendekati tak hingga dalam fungsi trigonometri. Salah satu contoh rumus limit tak hingga dalam bentuk trigonometri yang sering digunakan, yaitu:

Keterangan:

Baca Juga: 2 Contoh Soal Limit Tak Hingga Trigonometri dan Pembahasannya

Contoh Soal Materi Limit Tak Hingga

Ilustrasi mengerjakan soal materi limit tak hingga. Foto: Pexels

Penerapan limit tak hingga dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, limit fungsi ini merupakan pengembangan dari Limit Fungsi Aljabar.

Limit Fungsi Aljabar merupakan dasar dalam matematika untuk mempelajari Limit Fungsi Trigonometri, Diferensial Fungsi (Turunan), hingga Integral Fungsi.

Diberikan sebuah fungsi f(x) = 1/x2. Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jika nilai x semakin besar ? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita amati nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x berikut.

x = 1 → f(x) = 1

x = 10 → f(x) = 0,01

x = 100 → f(x) = 0,0001

x = 1000 → f(x) = 0,000001

Beriku contoh soal matematika mengenai limit tak hingga yang bisa dipahami:

1. Tentukan nilai limit fungsi aljabar tak hingga berikut ini:

2. Tentukan hasil dari :

Dari penjelasan dan contoh soal di atas, bisa disimpulkan bahwa pengertian limit fungsi di tak hingga adalah sebagai berikut :

a. Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk x yang terus membesar menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit L untuk x mendekati ∞ dan ditulis L xf )(lim x = ∞→ (dibaca limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan L).

b. Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk x menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→ )(lim x xf (dibaca limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞).

c. Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk x menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ − untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→ - )(lim x xf (dibaca limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞ − ).

Itulah pengertian dan contoh soal limit tak hingga dalam matematika beserta penjelasannya. Semoga bermanfaat.

(DNR & SFR)