Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu Terpisah (Separable)

Persamaan diferensial biasa orde satu terpisah. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi

Definisi

Persamaan diferensial biasa orde satu terpisah adalah persamaan diferensial biasa yang memuat variabel sejenis ke dalam dua suku. Jika dalam persamaan variabel belum terpisah, maka dilakukan manipulasi aljabar. Persamaan yang variabelnya sudah terpisah, dapat langsung dievaluasi untuk menentukan solusi umum maupun solusi khusus.

Bentuk persamaan yang memuat turunan dari satu variabel dependen (tak bebas) terhadap satu variabel independen (bebas) disebut persamaan diferensial biasa. Ini artinya perubahan dari variabel tak bebas hanya dipengaruhi oleh perubahan dari satu variabel bebas. Dalam gerak lurus beraturan, kecepatan merupakan perubahan dari posisi suatu objek terhadap perubahan waktu. Ketika dilakukan perubahan terhadap waktu, maka posisi dari objek tersebut akan berubah secara linear.

Orde atau tingkat dari persamaan diferensial merupakan turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut. Jika persamaan diferensial memuat turunan ketiga sebagai turunan tertinggi, maka orde dari persamaan tersebut adalah orde tiga.

Persamaan diferensial biasa orde satu terpisah. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi

Perhatikan persamaan (1) di atas! Suku pertama dan suku kedua masing-masing memuat variabel x dan y. Dengan mengasumsikan y sebagai variabel tak bebas, maka x merupakan variabel bebas yang memengaruhi perubahan y. Begitu juga sebaliknya, jika mengasumsikan x sebagai variabel tak bebas, maka y merupakan variabel bebas yang memengaruhi perubahan y. Orde dari persamaan di atas adalah satu, karena turunan pertama sebagai turunan tertinggi.

Aplikasi

Umumnya persamaan diferensial diaplikasikan di berbagai bidang sains dan teknologi seperti, ilmu ekonomi, ilmu fisika, dan keteknikan. Persamaan diferensial yang dapat ditemui di ilmu fisika dan keteknikan, yaitu hukum II Newton, termodinamika, laju perpindahan kalor, rangkaian listrik sederhana, dan persamaan gelombang. Pada ilmu ekonomi, untuk menentukan harga kesetimbangan permintaan dan penawaran dapat menurunkan dengan mengevaluasi persamaan diferensial.

Solusi Umum

Solusi umum adalah persamaan keadaan yang masih memuat konstanta sembarang. Solusi umum dari persamaan diferensial biasa orde satu terpisah dapat ditentukan dengan mengintegrasikan persamaan (1) untuk menghasilkan persamaan (2) seperti di bawah ini.

Solusi umum persamaan diferensial biasa orde satu terpisah. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi

Dalam beberapa kasus, persamaan diferensial biasa orde satu terpisah secara aljabar tidak memungkinkan untuk menyelesaikan y secara eksplisit dalam x. Namun demikian, solusinya dibiarkan dalam bentuk implisit.

Solusi Khusus

Solusi khusus dari persamaan diferensial dapat ditentukan dengan memberikan syarat nilai awal. Nilai awal berfungsi untuk dapat menentukan konstanta sembarang dari solusi umum.

Persamaan diferensial biasa orde satu terpisah dengan syarat nilai awal. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi

Langkah penyelesaian untuk memperoleh solusi khusus, dapat mengevaluasi persamaan (3) seperti persamaan (2) untuk mencari solusi umum. Selanjutnya, menerapkan syarat nilai awal untuk memperoleh konstanta sembarang c. Namun demikian, ada cara lain untuk menentukan solusi khusus dari persamaan tersebut. Perhatikan persamaan (4) di bawah ini!

Solusi khusus persamaan diferensial biasa orde satu terpisah dengan sayarat nilai awal. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi

Dengan menerapkan integral tentu yang a terdapat batas bawah (Xo dan Yo) sebagai syarat nilai awal dan batas atas sebagai variabel x dan y, kita dapat mengevaluasi solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal dan penyelesaian solusi umum persamaan diferensial biasa orde satu terpisah. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi

Soal dan penyelesaian solusi umum persamaan diferensial biasa orde satu terpisah. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi

Soal dan penyelesaian solusi khusus persamaan diferensial biasa orde satu terpisah dengan sayarat nilai awal. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi

Soal dan penyelesaian solusi khusus persamaan diferensial biasa orde satu terpisah dengan sayarat nilai awal. Sumber ilustrasi: dokumen pribadi