10 Contoh Soal Permutasi Unsur yang Berbeda dan Kunci Jawabannya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 7 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarSoal permutasi menjadi salah satu materi matematika yang sering dipelajari siswa di sekolah. Agar siswa lebih menguasainya, berlatih contoh soal permutasi unsur yang berbeda sangat diperlukan.
Mengutip Buku Bahas Total Kumpulan Soal Superlengkap Matematika SMA, Supadi, S.Si, M.Si., (2015: 348), Permutasi adalah penyusunan objek-objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dari suatu kumpulan, di mana urutan penyusunannya diperhitungkan (AB ≠ BA).
Daftar isi
Daftar isi
Daftar isi
Rumus Permutasi Unsur yang Berbeda
Permutasi unsur yang berbeda digunakan ketika urutan diperhatikan dan diminta untuk memilih sebagian dari total objek yang ada. Permutasi ini dinotasikan dalam bentuk P (n, r) dan dapat dicari dengan rumus berikut.
P (n, r) = n!/(n-r)!
Di mana:
P = permutasi
n = jumlah keseluruhan unsur
r = jumlah unsur yang harus dipilih
Contoh Soal Permutasi Unsur yang Berbeda
Permutasi merupakan salah satu konsep dasar matematika yang mempelajari penyusunan objek dalam urutan tertentu. Berikut adalah contoh soal permutasi unsur yang berbeda beserta kunci jawabannya.
1. Soal 1
Jabatan pengelola suatu perusahaan memerlukan 3 staf pengurus yaitu ketua, sekretaris, dan bendahara. Tersedia 7 calon. Banyaknya macam susunan staf pengurus yang mungkin adalah?
Pembahasan:
Pada soal diketahui bahwa akan dipilih 3 orang untuk menjadi staf pengurus dari 7 orang calon yang tersedia. Hal ini berarti r = 3 dan n = 7. Dengan demikian, banyaknya susunan pengurus yang mungkin yaitu:
P (7, 3) = 7!/(7-3)!
P (7, 3) = 7!/4!
P (7, 3) = 7.6.5.4!/4!
P (7, 3) = 7 x 6 x 4 = 210
Jadi, banyaknya susunan staf pengurus yang mungkin terjadi adalah 210.
2. Soal 2
Dari 9 orang guru akan dibentuk panitia ulangan yang terdiri dari ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak susunan panitia yang terbentuk dan tidak ada jabatan rangkap adalah?
Pembahasan:
Jika susunan panitia ulangan adalah ABC, maka A sebagai ketua, B sebagai sekretaris, dan C sebagai bendahara. Tetapi jika susunan panitia ulangan adalah CBA, maka C sebagai ketua, B sebagai sekretaris, dan A sebagai bendahara, sehingga (ABC ≠ CBA).
Dengan demikian, banyaknya susunan panitia yang terbentuk adalah permutasi 3 unsur dari 9 unsur yang dapat dihitung dengan rumus berikut:
P (9, 3) = 9!/(9-3)!
P (9, 3) = 9!/6!
P (9, 3) = 9.8.7.6!/6!
P (9, 3) = 9 x 8 x 7 = 504
Jadi, banyaknya susunan panitia yang terbentuk dan tidak ada jabatan rangkap adalah 504.
3. Soal 3
Jika diketahui angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun bilangan 4 angka berbeda, maka banyaknya cara untuk mengisi masing-masing tempat adalah?
Pembahasan:
Diketahui bahwa akan diambil 4 angka dari 6 angka untuk disusun menjadi bilangan yang berbeda. Hal ini berarti r = 4 dan n = 6. Dengan demikian, banyaknya susunan bilangan yang terjadi yaitu:
P (6, 4) = 6!/(6-4)!
P (6, 4) = 6!/2!
P (6, 4) = 6.5.4.3.2!/2!
P (6, 4) = 6 x 5 x 4 x 3 = 360.
Jadi, banyaknya cara untuk mengisi masing-masing tempat adalah 360.
4. Soal 4
Sebuah organisasi yang terdiri dari 20 anggota akan memilih calon pengurusnya yaitu ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyaknya macam susunan staf pengurus yang mungkin adalah?
Pembahasan:
Diketahui bahwa akan diambil 3 anggota dari 20 anggota dalam organisasi, dimana tidak ada anggota yang memiliki jabatan rangkap. Hal ini berarti r = 3 dan n = 20. Dengan demikian, banyaknya susunan pengurus yang dapat dipilih adalah:
P (20, 3) = 20!/(20-3)!
P (20, 3) = 20!/18!
P (20, 3) = 20.19.18!/18!
P (20, 3) = 20 x 19 x 18 = 6840
Jadi, banyaknya susunan pengurus yang dapat dipilih adalah 6.840.
5. Soal 5
Dari 10 orang pengurus suatu organisasi akan dipilih sebagai sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara pemilihan yang mungkin terjadi adalah?
Pembahasan:
Diketahui bahwa 3 orang dari 10 orang akan ditunjuk sebagai pengurus organisasi. Hal ini berarti, r = 3 dan n = 10. Dengan demikian, banyak cara pemilihan yang mungkin terjadi yaitu:
P (10, 3) = 10!/(10-3)!
P (10, 3) = 10!/7!
P (10, 3) = 10.9.8.7!/7!
P (10, 3) = 10 x 9 x 8 = 720
Jadi, banyaknya cara pemilihan yang mungkin terjadi adalah 720.
6. Soal 6
Tentukan banyaknya permutasi 2 huruf yang diambil dari kata PLEDOI!
Pembahasan:
Diketahui huruf PLEDOI terdiri dari 6 huruf yang berbeda. Hal ini berarti r = 2 dan n = 6. Dengan demikian, banyaknya permutasi 2 unsur dari 6 unsur yaitu:
P (6, 2) = 6!/(6-2)!
P (6, 2) = 6!/4!
P (6, 2) = 6.5.4!/4!
P (6, 2) = 6 x 5 = 30
Jadi, banyaknya permutasi 2 huruf yang diambil dari kata PLEDOI adalah 30.
7. Soal 7
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu?
Pembahasan:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu, maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong. Hal ini berarti r = 3 dan n = 7. Dengan demikian, banyakya permutasi dari cara duduk dapat dihitung dengan rumus:
P (7, 3) = 7!/(7-3)!
P (7, 3) = 7!/4!
P (7, 3) = 7.6.5.4!/4!
P (7, 3) = 7 x 6 x 5 = 210
Jadi, banyaknya permutasi dari cara duduk yang mungkin terjadi adalah 210.
8. Soal 8
Terdapat 8 bola dengan warna yang berbeda, yaitu merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu, dan putih. Berapa banyak cara untuk memilih dan mengurutkan 4 bola?
Pembahasan:
Diketahui 4 balon dipilih dari 8 balon dengan warna yang berbeda. Hal ini berarti r = 4 dan n = 8. Dengan demikian, banyak cara untuk memilih dan mengurutkan 4 balon adalah sebagai berikut:
P (8, 4) = 8!/(8-4)!
P (8, 4) = 8!/4!
P (8, 4) = 8.7.6.5.4!/4!
P (8, 4) = 8 x 7 x 6 x 5 = 1680
Jadi, banyaknya cara untuk memilih dan mengurutkan 4 balon adalah 1.680.
9. Soal 9
Dari 9 mahasiswa yang berbeda, berapa banyak cara untuk memilih dan mengurutkan 4 mahasiswa menjadi ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara?
Pembahasan:
Diketahui 4 mahasiswa dari 9 mahasiswa akan dipilih menjadi pengurus kelas. Hal ini berarti r = 4 dan n = 9. Dengan demikian, banyak cara untuk memilih dan mengurutkan 4 mahasiswa adalah sebagai berikut:
P (9, 4) = 9!/(9-4)!
P (9, 4) = 9!/5!
P (9, 4) = 9.8.7.6.5!/5!
P (9, 4) = 9 x 8 x 7 x 6 =3024
Jadi, banyak cara untuk memilih dan mengurutkan 4 mahasiswa adalah 3.024.
10. Soal 10
Diketahui 3 buku matematika berbeda, 2 buku fisika berbeda, dan 4 buku kimia berbeda. Ke-9 buku tersebut akan disusun berjajar dalam rak. Tentukan banyaknya susunan buku-buku tersebut jika:
1. Setiap buku boleh berada di posisi mana saja
2. Buku-buku bersubjek sama harus berdekatan
3. Hanya buku-buku matematika saja yang berdekatan
Pembahasan:
Dalam hal ini ada 9 buku yang berbeda, sehingga banyaknya susunan ke-9 buku tersebut adalah P (9, 9) = 9! = 362.880 susunan.
Pertama, terdapat 3 subjek yaitu matematika, fisika, dan kimia. Kemudian, jika susunan subjek telah ditentukan, masing-masing buku dalam subjek dapat bermutasi antara mereka sendiri.
Karena permutasi antarsubjek dan antarbuku saling bebas, maka jumlah permutasi diperoleh dari prinsip perkalian.
Permutasi subjek ada 3!; permutasi buku matematika 3!; permutasi buku fisika 2!; dan permutasi buku kimia 4!. Sehingga jumlah keseluruhan permutasi adalah 3! x 3! x 2! x 4! = 1.728 susunan.
Anggap buku matematika sebagai satu unsur, sehingga seluruhnya ada 7 buku dan permutasi ke-7 buku tersebut adalah 7!. Selanjutnya, pada tiap-tiap posisi buku-buku matematika dapat berpermutasi di antara mereka sendiri menghasilkan 3!.
Dengan demikian, keseluruhan permutasi berjumlah 7! X 3! = 30.240 susunan.
Demikianlah contoh soal permutasi unsur yang berbeda beserta kunci jawabannya. Semakin banyak berlatih soal dengan model yang berbeda, maka kecepatan menyelesaikan soal akan meningkat. (Nabila)
Baca Juga: 9 Contoh Soal Bahasa Panda dan Jawabannya