Konten dari Pengguna

16 Contoh Soal Deret Aritmatika, Jawaban, dan Pembahasannya

Kabar Harian
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
25 Januari 2025 15:38 WIB
·
waktu baca 8 menit
comment
0
sosmed-whatsapp-white
copy-link-circle
more-vertical
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
Ilustrasi contoh soal deret aritmatika. Unsplash.com/Susan-Holt-Simpson
zoom-in-whitePerbesar
Ilustrasi contoh soal deret aritmatika. Unsplash.com/Susan-Holt-Simpson
ADVERTISEMENT
Contoh soal deret aritmatika adalah jumlah dari elemen-elemen pada suatu barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah barisan bilangan di mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, yang disebut sebagai beda (d).
ADVERTISEMENT
Barisan aritmatika terdiri dari bilangan-bilangan dengan selisih tetap antara setiap dua suku berurutan. Contoh: 2, 5, 8, 11, 14, … memiliki beda d = 3. Deret aritmatika juga merupakan hasil penjumlahan suku-suku dalam barisan tersebut. Contoh: Jika barisannya adalah 2, 5, 8, maka deretnya adalah 2 + 5 + 8 = 15.

Rumus-Rumus Deret Aritmatika

Ilustrasi contoh soal deret aritmatika. Unsplash.com/David-Ballew
Berikut ini ada beberapa rumus deret aritmatika yang dikutip dari Buku Matematika Wajib Kelas XI Semester 2.

1. Suku ke-n (Un)

Rumus untuk mencari suku ke- dari barisan aritmatika adalah:
Un = a + (n-1) . d
Un : Suku ke-n
a : Suku pertama
d : Beda (selisih antara dua suku berurutan)
n : Posisi suku

2. Jumlah n Suku Pertama (Sn)

Jumlah n suku pertama dalam deret aritmatika dirumuskan sebagai:
ADVERTISEMENT
Sn = n/2 . (2a + (n-1) . d)
Sn = n/2 . (a + Un)
Sn : Jumlah suku pertama
a : Suku pertama
Un : Suku ke-n

Contoh Soal Deret Aritmatika dan Penyelesaiannya

Ilustrasi contoh soal deret aritmatika. Unsplash.com/Towfiqu-barbhuiya
Berikut ini beberapa contoh soal deret aritmatika dan penyelesaiannya:

Soal 1

Diketahui sebuah barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, ... . Hitung:
1. Suku ke-10 (U10).
2. Jumlah 10 suku pertama (S10).
Penyelesaian:
1. Mencari U10:
U10 = a + (n-1) . d
. d = 7 - 3 = 4 (beda)
. n = 10
Maka:
U10 = 3 + (10-1) . 4 = 3 + 36 = 39
2. Mencari S10:
S10 = n/2 . (2a + (n-1) . d)
ADVERTISEMENT
Maka:
S10 = 10/2 . (2(3) + (10-1) . 4)
S10 = 5 . (6 + 36) = 5 . 42 = 210 ]
Jawaban:
U10 = 39
S10 = 210

Soal 2

Perencanaan Keuangan (Menabung Secara Berkala)
Kasus: Seseorang menabung secara rutin setiap bulan dengan peningkatan jumlah tabungan yang tetap.
Contoh: Budi menabung Rp50.000 di bulan pertama, dan setiap bulan berikutnya ia menambah jumlah tabungan sebesar Rp10.000. Berapa total uang yang ia tabung selama 12 bulan?
Penyelesaian:
Suku pertama (a) = Rp50.000
Beda (d) = Rp10.000
Jumlah bulan (n) = 12
Gunakan rumus jumlah suku pertama (Sn):
Sn = n/2 . (2a + (n-1) d)
S12 = 12/2 . (2 . 50.000 + (12-1) . 10.000) ]
ADVERTISEMENT
S12 = 6 . (100.000 + 110.000) = 6 . 210.000 = Rp1.260.000
Jadi, total uang yang ditabung selama 12 bulan adalah Rp1.260.000.

Soal 3

Kasus: Seorang karyawan menerima gaji bulanan sebesar Rp3 juta, dan setiap tahun ia mendapat kenaikan gaji tetap sebesar Rp500 ribu. Berapa total gaji yang diterima karyawan tersebut dalam 5 tahun pertama?
Penyelesaian:
Suku pertama (a) = Rp3.000.000
Beda (d) = Rp500.000
Lama kerja (n) = 5 tahun
Gunakan rumus jumlah suku pertama (Sn):
Sn = n/2 . (2a + (n-1) d)
S5 = 5/2 . (2 . 3.000.000 + (5-1) . 500.000) ]
S5 = 2.5 . (6.000.000 + 2.000.000) = 2.5 . 8.000.000 = Rp20.000.000
Jadi, total gaji selama 5 tahun pertama adalah Rp20 juta.
ADVERTISEMENT

Soal 4

Kasus: Harga tiket barisan kursi stadion dibuat bertingkat. Kursi barisan pertama dijual Rp50.000, dan setiap baris berikutnya harganya naik Rp5.000. Berapa total pendapatan dari 10 baris pertama jika setiap baris terdiri dari 20 kursi?
Penyelesaian:
Harga kursi baris pertama (a) = Rp50.000
Kenaikan per baris (d) = Rp5.000
Jumlah baris (n) = 10
Gunakan rumus jumlah suku pertama (Sn) untuk menentukan total harga 1 kursi dari 10 baris:
S10 = 10/2 . (2 . 50.000 + (10-1) . 5.000)
S10 = 5 . (100.000 + 45.000) = 5 . 145.000 = Rp725.000 ]
Total pendapatan untuk 20 kursi per baris:
Rp725.000 . 20 = Rp14.500.000
Jadi, total pendapatan dari 10 baris pertama adalah Rp14.500.000.
ADVERTISEMENT

Soal 5

Kasus: Seorang pelari berlatih dengan pola jarak bertambah setiap hari. Hari pertama ia berlari sejauh 1 km, dan setiap hari ia menambah jarak sebesar 0,5 km. Berapa total jarak yang ia tempuh selama 7 hari?
Penyelesaian:
Jarak hari pertama (a) = 1 km
Penambahan jarak (d) = 0,5 km
Waktu (n) = 7 hari
Gunakan rumus jumlah suku pertama (Sn):
S7 = 7/2 . (2 . 1 + (7-1) . 0,5)
S7 = 3,5 . (2 + 3) = 3,5 . 5 = 17,5 , km ]
Jadi, total jarak yang ditempuh selama 7 hari adalah 17,5 km.

Soal 6

Kasus: Satu gedung memiliki tangga, di mana jumlah anak tangga bertambah 2 setiap lantai. Jika lantai pertama memiliki 10 anak tangga, berapa total anak tangga yang harus dinaiki dari lantai pertama hingga lantai ke-8?
ADVERTISEMENT
Penyelesaian:
Anak tangga lantai pertama (a) = 10
Penambahan anak tangga (d) = 2
Jumlah lantai (n) = 8
Gunakan rumus jumlah suku pertama (Sn):
S8 = 8/2 . (2 . 10 + (8-1) . 2)
S8 = 4 . (20 + 14) = 4 . 34 = 136 ]
Jadi, total anak tangga yang harus dinaiki hingga lantai ke-8 adalah 136 anak tangga.

Soal 7

Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama a = 5 dan beda d = 3. Hitunglah suku ke-15 (U15).
Penyelesaian:
Gunakan rumus Un = a + (n - 1) d.
U15 = 5 + (15-1) . 3 = 5 + 14 . 3 = 5 + 42 = 47
ADVERTISEMENT

Soal 8

Menghitung Jumlah n Suku Pertama: Diketahui barisan aritmatika dengan a = 10, d = 4, dan n = 6. Berapa jumlah 6 suku pertama (S6)?
Penyelesaian:
Gunakan rumus Sn = n/2 . (2a + (n - 1) d).
S6 = 6/2 . (2 . 10 + (6-1) . 4)
S6 = 3 . (20 + 20) = 3 . 40 = 120 ] Jawaban: Jumlah 6 suku pertama adalah 120.

Soal 9

Menentukan Suku Pertama: Dalam barisan aritmatika, diketahui U5 = 23, d = 3. Berapakah nilai suku pertama (a)?
Penyelesaian:
Gunakan rumus Un = a + (n - 1) d.
23 = a + (5-1) . 3
23 = a + 12 a = 23 - 12 = 11 ] Jawaban: Suku pertama adalah 11.
ADVERTISEMENT

Soal 10

Menentukan Jumlah Seluruh Suku dalam Deret: Sebuah barisan aritmatika dimulai dari a = 7, d = 2, dan suku terakhir (Un) adalah 37. Hitung jumlah seluruh sukunya (Sn).
Penyelesaian:
1. Tentukan n menggunakan Un = a + (n - 1) d:
37 = 7 + (n-1) . 2 37 - 7 = 2(n-1) 30 = 2(n-1) n = 16
S16 = 16/2 . (7 + 37) = 8 . 44 = 352

Soal 11

Menentukan Beda: Diketahui U1 = 12 dan U6 = 32. Hitung nilai beda (d).
Penyelesaian:
Gunakan rumus Un = a + (n - 1) d:
32 = 12 + (6-1)d 32 - 12 = 5d 20 = 5d d = 4
ADVERTISEMENT

Soal 12

Menghitung Jumlah Suku dengan Suku Terakhir: Sebuah deret aritmatika memiliki a = 8, suku terakhir (Un) = 50, dan jumlah suku n = 9. Hitunglah jumlah deret (Sn).
Penyelesaian:
Gunakan rumus Sn = n/2 . (a + Un):
S9 = 9/2 . (8 + 50) = 4.5 . 58 = 261

Soal 13

Menentukan Suku Terakhir: Sebuah deret aritmatika memiliki a = 3, d = 5, dan n = 10. Berapa nilai suku terakhir (U10)?
Penyelesaian:
Gunakan rumus Un = a + (n - 1) d:
U10 = 3 + (10-1) . 5 = 3 + 45 = 48

Soal 14

Soal Praktis: Jumlah Anak Tangga: Sebuah tangga memiliki a = 10 anak tangga pada lantai pertama, dan setiap lantai berikutnya bertambah 2 anak tangga. Jika ada 8 lantai, berapa total anak tangga?
ADVERTISEMENT
Penyelesaian:
Gunakan Sn = n/2 . (2a + (n - 1) d):
S8 = 8/2 . (2 . 10 + (8-1) . 2)
S8 = 4 . (20 + 14) = 4 . 34 = 136 ] Jawaban: Total anak tangga adalah 136.

Soal 15

Gaji awal karyawan adalah Rp3 juta per bulan, dengan kenaikan Rp500 ribu setiap tahun. Berapa total gaji yang diterima dalam 4 tahun pertama?
Penyelesaian:
Gunakan Sn = n/2 . (2a + (n - 1) d):
a = 3 juta, d = 0.5 juta, n = 4
S4 = 4/2 . (2 . 3 + (4-1) . 0.5) ]
S4 = 2 . (6 + 1.5) = 2 . 7.5 = 15 juta
ADVERTISEMENT

Soal 16

Menabung dengan Peningkatan: Seseorang menabung Rp50.000 di bulan pertama dan meningkatkan jumlahnya Rp10.000 setiap bulan. Berapa total tabungan setelah 6 bulan?
Penyelesaian:
Gunakan Sn = n/2 . (2a + (n - 1) d):
S6 = 6/2 . (2 . 50.000 + (6-1) . 10.000)
S6 = 3 . (100.000 + 50.000) = 3 . 150.000 = 450.000 ] Jawaban: Total tabungan adalah Rp450.000.
Contoh soal deret aritmatika sangat bermanfaat dalam berbagai aspek kehidupan. Seperti perencanaan keuangan, manajemen sumber daya, dan pemecahan masalah pola bertahap. (Zen)