Identitas Trigonometri Lengkap dengan Penjelasannya dalam Matematika

Identitas Trigonometri Lengkap. Foto: Unsplash/Saad Ahmad.

Identitas trigonometri lengkap dengan penjelasannya sangat perlu dipahami dalam pelajaran Matematika. Identitas trigonometri adalah suatu identitas yang berisi kesamaan fungsi trigonometri di ruas kiri dan ruas kanan.

Saat duduk di bangku sekolah, tentu sudah tidak asing dengan trigonometri, yaitu salah satu cabang ilmu dari matematika ini umumnya dipelajari saat duduk di bangku SMA.

Mengutip dari Jurnal Kelitbangan, Nindarti, dkk. (2018), trigonometri merupakan salah satu cabang ilmu dalam matematika yang mempelajari tentang sudut dan cara pengukurannya (Asti & Munif, 2009).

Identitas Trigonometri Lengkap

Identitas Trigonometri Lengkap. Foto: Unsplash/Joshua Hoehne.

Indetitas trigonometri lengkap perlu dipelajari. Identitas trigonometri adalah bentuk dari trigonometri yang dinyatakan dalam bentuk trigonometri lain.

Konsep identitas trigonometri dasar terdiri dari hubungan atau korelasi kebalikan, komparasi, dan teorema phytagoras. Kata trigonometri berasal dari bahasa Yunani, di mana trigonon berarti “tiga sudut” dan metron berarti “mengukur”.

Trigonometri merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dalam sebuah segitiga. Hubungan ini biasanya dinyatakan dalam bentuk perbandingan sinus, kosinus, dan tangen.

Menggunakan perbandingan ini, kamu dapat dengan mudah menentukan panjang sisi segitiga meskipun hanya mengetahui panjang satu sisi dan sudutnya saja.

Identitas trigonometri punya nilai besar yang dapat mensubstitusi berbagai variabel dalam konstanta pada sebuah fungsi.

Oleh sebab itu, dalam mempelajari identitas trigonometri, detikers akan bersinggungan juga dengan sinus, cosinus, dan tangen, yang merupakan dasar dalam sejumlah rumus matematika.

Konsep Identitas Trigonometri

Identitas Trigonometri Lengkap. Foto: Unsplash/Antoine Dautry.

Untuk memahami identitas trigonometri lebih dalam, detikers juga perlu mengetahui sejumlah konsep trigonometri yang terbagi menjadi tiga jenis, yakni sebagai berikut:

1. Identitas Trigonometri yang Merupakan Korelasi Kebalikan

Sin a = 1/cos a

Cos a = 1/sec a

Tan a = 1/cot a

2. Identitas Trigonometri yang Merupakan Korelasi Komparasi (perbandingan)

Tan a = sin a/cos a

Cot a = cos a/sin a

3. Identitas Trigonometri yang Merupakan Teorema Phytagoras

Sin2 a + cos2 a = 1

Petunjuk untuk Membuktikan Identitas Trigonometri

Identitas Trigonometri Lengkap. Foto: Unsplash/Roman Mager.

Mengutip dari buku Dasar-dasar Trigonometri oleh Nurmala, ada hal yang perlu diingat dalam membuktikan identitas trigonometri, yakni harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah.

Selain itu, tidak boleh menggunakan sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitas seperti sifat penjumlahan dari kedua ruas persamaan.

Agar tidak bingung, simak petunjuk untuk membuktikan identitas trigonometri di bawah ini:

Rumus Identitas Trigonometri

Identitas Trigonometri Lengkap. Foto: Unsplash/NITISH GOSWAMI.

Berikut adalah rumus identitas trigonometri:

(sin α)(sin α) + (cos α)(cos α) = 1

(tan α)(tan α) + 1 = (sec α)(sec α)

(cot α)(cot α) + 1 = (csc α)(csc α)

sin(90 − α)° = cos α°

cos(90 − α)° = sin α°

tan(90 − α)° = cot α°

cot(90 − α)° = tan α°

sec(90 − α)° = csc α°

csc(90 − α)° = sec α°

cos(180 − α)° = −cos α°

tan(180 − α)° = −tan α°

cot(180 − α)° = −cot α°

sec(180 − α)° = −sec α°

csc(180 − α)° = csc α°

sin(180 + α)° = −sin α°

cos(180 + α)° = −cos α°

tan(180 + α)° = tan α°

sin(360 − α)° = sin (−α°) = −sin α°

cos(360 −α)° = cos (−α°)= cos α°

tan(360 −α)° = tan (−α°) = − tan α°

sin(α + n.360)° = sin α°

cos(α + n.360)° = cos α°

tan(α + n.180)° = tan α°

Secara matematis dan praktis, identitas trigonometri memiliki beberapa fungsi, yakni simplifikasi terhadap variabel persamaan yang kompleks serta dapat menuliskan satu fungsi di dalam bentuk yang berbeda.

Penerapan Trigonometri Sehari-hari

Identitas Trigonometri Lengkap. Foto: Unsplash/Ashkan Forouzani.

Berikut adalah beberapa contoh aplikasi materi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.

1. Mengukur Ketinggian Pohon, Bangunan, atau Benda Lainnya

Trigonometri memungkinkan kita untuk menghitung ketinggian berbagai objek, seperti gunung, bukit, bangunan, dan pohon. Dengan menggunakan sudut elevasi, seseorang dapat mengukur ketinggian pohon tanpa harus memanjatnya.

Caranya adalah dengan mengukur sudut elevasi pandangan mata terhadap puncak pohon dan jarak dari titik pengamatan ke pohon tersebut. Metode yang sama seperti mengukur ketinggian pohon dapat digunakan untuk mengukur ketinggian gedung.

2. Mengatur Kemiringan Jalan atau Jembatan

Trigonometri memiliki peran yang sangat penting dalam rekayasa sipil untuk menentukan kemiringan jalan atau jembatan agar tetap aman bagi para pengguna. Perhitungan sudut dan kemiringan yang tepat mencegah risiko kecelakaan.

3. Membantu Tendangan Sepak Bola agar Lebih Tepat

Dalam olahraga seperti sepak bola, trigonometri membantu pemain mengatur sudut elevasi tendangan agar bola bisa masuk ke gawang lawan dengan presisi.

4. Bidang Navigasi

Dalam navigasi, perbandingan trigonometri digunakan untuk menghitung jarak suatu titik terhadap garis pantai. Ini penting bagi pelaut dan navigator untuk menentukan posisi kapal dengan tepat.

5. Bidang Oseanografi

Di bidang oseanografi, trigonometri digunakan untuk menghitung ketinggian gelombang laut. Ini membantu dalam memprediksi kondisi laut dan memberikan informasi penting bagi pelaut dan nelayan.

6. Bidang Astronomi

Trigonometri sangat berguna dalam astronomi. Karena ukuran benda-benda langit tidak dapat diukur langsung dengan alat pengukur biasa, astronom menggunakan skala-skala dan sudut-sudut untuk mengestimasi ukuran dan jarak benda langit dengan akurat.

7. Bidang Teknik Sipil

Pengukuran tanah adalah cabang ilmu alam yang menggunakan trigonometri untuk menentukan posisi tiga dimensi dari suatu tempat di permukaan bumi. Hasil pengukuran ini digunakan untuk membuat peta topografi dan menentukan luas wilayah suatu daerah.

8. Bidang Arsitektur

Trigonometri juga berperan penting dalam arsitektur. Ini digunakan untuk menentukan kemiringan atap, beban struktural, efek bayangan matahari, serta sudut cahaya terhadap bangunan, sehingga desain arsitektur menjadi lebih efisien dan estetis.

Contoh Soal & Pembahasan

Identitas Trigonometri Lengkap. Foto: Unsplash/J. Weisner.

Contoh Soal 1

Jennie menatap sebuah pohon yang berjarak 13 meter dari tempat ia berdiri. Tinggi Jennie adalah 168 cm. Jika sudut elevasi di tempat Jennie berdiri sebesar 50°, hitunglah tinggi pohon yang ada di hadapannya! (sin 50° = 0,7660; cos 50° = 0,6428; tan 50° = 1,1918).

Pembahasan

Diketahui jarak Jennie dari pohon (x) adalah 13 meter. Tinggi Jennie (t) adalah 168 cm. Sudut elevasi di tempat Jennie berdiri (α) adalah 50°. Ditanya, berapa tinggi pohon?

Sehingga, jika tinggi pohon = tinggi Jennie + tinggi (h), maka

Tan α = h/x

Tan 50° = h/13 m

h = 13 m . tan 50°

h = 13 m . 1,1918

h = 15,4934 m

Lalu, tinggi pohon = tinggi Jennie + tinggi h

Tinggi pohon = 1,68 m + 15,4934 m

Tinggi pohon = 17,1734 m.

Jadi, tinggi pohon yang sedang dilihat oleh Jennie adalah 17,1734 meter.

Contoh Soal 2

Suprapto sedang bermain layangan. Dia kemudian berhasil menaikkan layang-layangnya hingga mencapai ketinggian 3,5 meter. Saat itu, dia memegang ujung pangkal benang layangan di ketinggian 60 cm dari permukaan tanah.

Layangannya juga membentuk sudut ∠KIT sebesar 30°. Tentukan panjang tali layang-layang yang sudah diulurkan oleh Suprapto!

Pembahasan

Diketahui:

3,5 m = 350 cm.

Panjang KT (tinggi segitiga) 350-60 = 290 cm

Sin 30° = KT/KI

1/2 = 290 cm/KI

KI = 290 cm . 2

KI = 580 cm atau 5,8 m

Maka, panjang tali layang-layang yang sudah diulurkan oleh Suprapto adalah 580 cm atau 5,8 meter. Demikian adalah ulasan mengenai identitas trigonometri lengkap dengan penjelasannya. Semoga bermanfaat. (Nisa)

Baca juga: Energi Potensial: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal