Kalkulus Diferensial: Definisi, Rumus, dan Contoh Soalnya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 4 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarKalkulus adalah salah satu dari tiga jurusan utama dalam bidang matematika. Kalkulus terbagi lagi menjadi beberapa bagian, salah satunya kalkulus diferensial. Subjek ini sebagian besar isinya merupakan ilmu tentang turunan.
Turunan bukan berarti jalan yang menurun atau lawan dari tanjakan. Turunan merupakan suatu ilmu dan istilah di dalam matematika yang menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya.
Misalnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu. Awal mula muncul istilah turunan berasal dari permasalahan garis singgung suatu kurva.
Garis singgung dapat didefinisikan sebagai garis yang menyinggung suatu kurva. Artinya, antara kurva dan garis berpotongan di satu titik tertentu.
Definisi Turunan pada Kalkulus Diferensial
Mengutip buku Kalkulus Diferensial (Limit, Turunan, dan Aplikasi Turunan) karya Mohammad Rifa'i, turunan sebuah fungsi ƒ merupakan suatu fungsi lain yang dapat disimbolkan sebagai ƒ (dibaca "ƒ aksen") yang nilainya pada sembarang bilangan c.
Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial, sementara proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi. Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, umumnya turunan didefinsikan sebagai berikut:
Rumus Turunan pada Kalkulus Diferensial
Berikut rumus-rumus turunan pada kalkulus diferensial, seperti dihimpun dari buku Kalkulus Diferensial (Limit, Turunan, dan Aplikasi Turunan) karya Mohammad Rifa'i:
f(x) = k f'(x) = 0, ini turunan dari f(x) = c.
f(x)=x f'(x) = 1, ini turunan dari f(x) = x.
f(x) = kg(x) f'(x) = kg'(x), ini turunan dari f(x) = ax^n.
f(x)=x" f'(x) = nx"-1, ini turunan dari h(x) = f(x) + g(x).
f(x) = u(x) + v(x) f'(x) = u'(x) + v'(x), ini turunan dari h(x) = f(x) – g(x).
f(x) = u(x). v(x) f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x), ini turunan dari f(x) = u(x) . v(x).
Contoh Soal Turunan Kalkulus Diferensial
Agar lebih paham, simak beberapa contoh soal turunan kalkulus diferensial, yang dihimpun dari buku Kalkulus Jl. 1 Ed. 8 terbitan Erlangga, di bawah ini:
Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = x3 – 2x2 + 3x !
Pembahasan
f’(x) = 3.1.x3-1 – 2.2x2-1 + 1.3.x1-1
f’(x) = 3x2 – 4x + 3
Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = x3 – 2x2 + 3x adalah f’(x) 3x2 – 4x + 3.
Contoh 2
Carilah turunan pertama dari fungsi f(x) = (3x + 2)(2x + 5) !
Pembahasan
f(x) = (3x + 2)(2x + 5)
f(x) = 3x.2x + 3x.5 + 2.2x + 2.5
f(x) = 6x2 + 15x + 4x + 10
f(x) = 6x2 + 19x + 10
f’(x) = 2.6.x2-1 + 1.19.x1-1 + 0.10.x0-1
f’(x) = 12x + 19 + 0
f’(x) = 12x + 19
Jadi turunan pertama dari fungsi f(x) = (3x + 2)(2x + 5) adalah f’(x) = 12x + 19 + 0 .
Contoh 3
Hitunglah turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x½ !
Pembahasan
f’(x) = ½.4.x½-1
f’(x) = 2x-½
Jadi turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x½ adalah f’(x) = 2x-½ .
Contoh 4
Berapakah turunan pertama dari fungsi f(x) = 4 √x3 ?
Pembahasan
f(x) = 4 √x
f(x) = 4 x3/2
f’(x) = 3/2.4.x3/2 – 1
f’(x) = 6x½
f’(x) = 6 √x
Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = 4 √x3 adalah f’(x) = 6 √x.
Contoh 5
Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = (x2 + 3x + 4)(2x + 3).
Pembahasan
f(x) = (x2 + 3x + 4)(2x + 3)
Misal:
u = x2 + 3x + 4
v = 2x + 3
Maka:
u’ = 2x + 3
v’ = 2
Sehingga:
f’(x) = u’v + uv’
f’(x) = (2x + 3)(2x + 3) + (x2 + 3x + 4).2
f’(x) = 4x2 + 12x + 9 + 2x2 + 6x + 8
f’(x) = 6x2 + 18x + 17
Jadi, turunan dari f(x) = (x2 + 3x + 4)(2x + 3) adalah f’(x) = 6x2 + 18x + 17.
Baca Juga: Cara Menentukan Nilai Tempat Bilangan dalam Matematika
(NDA)
Frequently Asked Question Section
Apa artinya turunan dalam matematika?
Apa artinya turunan dalam matematika?
Turunan merupakan suatu ilmu dan istilah di dalam matematika yang menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya.
Apa contoh turunan dalam matematika?
Apa contoh turunan dalam matematika?
Misalnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu. Awal mula muncul istilah turunan berasal dari permasalahan garis singgung suatu kurva. Garis singgung dapat didefinisikan sebagai garis yang menyinggung suatu kurva. Artinya, antara kurva dan garis berpotongan di satu titik tertentu.
Apa saja rumus turunan pada kalkulus diferensial?
Apa saja rumus turunan pada kalkulus diferensial?
Salah satu rumus turunan pada kalkulus diferensial adalah f(x) = u(x). v(x) f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x), ini turunan dari f(x) = u(x) . v(x).