Kuadrat Sempurna: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soalnya

Ilustrasi persamaan kuadrat. Foto: iStock

Dalam matematika, tidak semua persamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi. Cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Dikutip dari Pintar Matematika Tanpa Bimbel SMA X, XI, XII oleh Noti Lansaroni, yang dimaksud dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 menjadi (x + p)2 = q, q ≥ 0.

Penyelesaian persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menarik akar pada nilai yang terdapat di ruas kanan.

Untuk memahami lebih jelas mengenai kuadrat sempurna, simak pembahasan berikut.

Bentuk Persamaan Kuadrat Sempurna

Ilustrasi persamaan kuadrat. Foto: iStock

Bilangan-bilangan kuadrat seperti 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, dan seterusnya merupakan bentuk kuadrat sempurna. Bentuk lain dari kuadrat sempurna dengan variabel x, antara lain x2, 4x2, 9x2, 16x2, 25x2, (x + 3)2, (x - 4)2, dan (x - 5)2.

Sementara itu, persamaan kuadrat atau persamaan pangkat dua adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c adalah konstanta yang sesuai dengan persamaan kuadratnya.

Jika suatu persamaan kuadrat sulit diselesaikan dengan cara pemfaktoran, dapat menggunakan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk persamaan kuadrat sempurna adalah bentuk persamaan yang menghasilkan bilangan rasional. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dibentuk menjadi kuadrat sempurna dengan cara menambah atau mengurangi suatu bilangan pada persamaan kuadrat tersebut.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk melengkapkan kuadrat sempurna adalah sebagai berikut.

Jadi, rumus persamaan kuadrat sempurna adalah:

(x+p)2 = x2 + 2px + p2

Ubah menjadi bentuk persamaan dalam (x+p)2 = q dengan penyelesaian:

(x+p)2 = q

x+p = ± q

x = -p ± q

Contoh Soal Melengkapkan Persamaan Kuadrat Sempurna

Ilustrasi mengerjakan soal kuadrat sempurna. Foto: iStock

Berikut contoh soal melengkapkan kuadrat sempurna.

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan himpunan penyelesaian atau akar-akar dari persamaan kuadrat berikut ini.

x2 + 2x - 8 = 0

Jawab:

x2 + 2x - 8 = 0

Ubah menjadi x2 + 6x = 8

Tambahkan satu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari x yang dikuadratkan, sehingga persamaannya menjadi:

x2 + 2x - 8 = 0

⇔ x2 + 2x = 8

⇔ x2 + 2x + (1)2 = 8 + (1)2

⇔ x2 + 2x + 1 = 9

⇔ (x + 1)2 = 9

⇔ x + 1 = ± 3

⇔ x + 1 = 3 atau x + 1 = -3

⇔ x = 2 atau x = -4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x - 8 = 0 adalah x = 2 atau x = -4.

(SFR)