Menentukan Daerah Penyelesaian Program Linier dan Contoh Soalnya

Ilustrasi grafik matematika. Foto: iStock

Dalam matematika, penyelesaian program linier sangat berkaitan dengan kemampuan melakukan sketsa daerah penyelesaian program linier.

Program linier atau program linear adalah suatu metode yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai maksimum dan nilai minimum).

Daerah himpunan penyelesaian program linier dapat ditentukan dengan beberapa teknik sebagai berikut.

1. Buat sumbu koordinat kartesius.

2. Tentukan titik potong pada sumbu x dan y dari semua persamaan-persamaan linearnya.

3. Sketsa grafiknya dengan menghubungkan antara titik-titik potongnya.

4. Pilih satu titik uji yang berada di luar garis.

5. Subtitusikan pada persamaan.

6. Tentukan daerah yang dimaksud.

Artikel ini akan membahas lebih jauh mengenai cara menentukan daerah penyelesaian program linear dengan contoh soalnya.

Menentukan Daerah Penyelesaian Program Linier

Ilustrasi pengerjaan matematika. Foto: iStock

Berikut beberapa contoh soal dalam menentukan daerah penyelesaian program linear.

Contoh Soal 1

Sketsa daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 𝑥 + 3𝑦 ≤ 3, 2𝑥 + 𝑦 ≥ 2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

Jawab:

(a) 𝑥 + 3𝑦 = 3

= (x, y) = (0, 1)

= (x, y) = (3, 0)

(b) 2𝑥 + 𝑦 = 2

= (x, y) = (0, 2)

= (x, y) = (1, 0)

y = 0 atau sepanjang sumbu x

Titik uji adalah (3, 2)

(a) diuji pada 𝑥 + 3𝑦 ≤ 3, didapatkan 3 + 3(2) = 9 ≤ 3 (salah) sehingga daerah himpunan penyelesaian adalah sebelah atas dari garis 𝑥 + 3𝑦 = 3.

Kemudian, x + 3y = 3 diuji pada 𝑥 + 3𝑦 ≤ 3, didapatkan 3 + 3(2) = 9 ≤ 3 (salah) sehingga daerah himpunan penyelesaian adalah sebelah bawah dari garis 𝑥 + 3𝑦 = 3.

(b) diuji pada 2 𝑥 + 𝑦 ≥ 2, didapatkan 2(3) + 2 = 8 > 3 (benar) sehingga daerah himpunan penyelesaian adalah sebelah atas dari garis 2𝑥 + 𝑦 = 2.

(c) titik uji (3, 2) terletak di atas garis y = o sehingga daerahnya di atas sumbu x.

Demikian daerah himpunan penyelesaian program linier tersebut adalah sebagai berikut.

Daerah himpunan penyelesaian program 2x + y = 2. Foto: Buku Sumber Belajar Penunjang PLPG 2017

Contoh Soal 2

Tentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12

Jawab:

1. Mencari nilai x

Jika y = 0, maka menjadi 3x = 12

x = 12/4

x = 3

2. Mencari nilai y

Jika x = 0, maka menjadi 2y = 12

y = 12/2

y = 6

Dengan titik uji O (0, 0), dapat dijabarkan sebagai berikut.

3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12

3(0) + 2(0) ≥ 12

0 ≥ 12 (salah)

Dengan demikian titik (0, 0) bukan termasuk dalam daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut, sehingga daerah himpunan penyelesaian jika dibuat grafik adalah di sebelah atas dari garis 3𝑥 + 2𝑦 = 12.

Daerah pertidaksamaannya adalah sebagai berikut.

Daerah pertidaksamaan dari garis 3x + 2y = 12. Foto: Buku Sumber Belajar Penunjang PLPG 2017

(SFR)