Metode Eliminasi & Substitusi Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 4 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarDalam pelajaran matematika, materi tentang sistem persamaan linier tiga variabel atau yang dikenal dengan SPLTV akan dijumpai ketika duduk di bangku sekolah menengah pertama (SMP).
Sebelumnya, mempelajari sistem persamaan linear bermanfaat untuk menentukan koordinat dari titik potong. Nah, sistem persamaan linier tiga variabel sendiri merupakan materi yang biasanya sulit untuk dimengerti, tapi akan memberikan kemudahan jika mengetahui metode penyelesaiannya.
Mengutip jurnal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel karya Datih Nurani Istriana, S. Pd, setiap persamaan yang berbentuk ax + by + cz = d dengan a, b, c, dan d adalah konstanta dan a, b, dan c tidak nol, maka persamaan tersebut adalah “persamaan linear dalam tiga variabel”.
Lebih jelasnya, berikut keterangan dari bentuk yang ada di atas:
a adalah koefisien variabel x
b adalah koefisien variabel y
c adalah koefisien variabel z
d adalah konstanta
Himpunan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu {(x, y,z) ax + by + cz} adalah suatu bidang datar dalam sumbu-sumbu orthogonal X, Y, dan Z.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ini, dibutuhkan beberapa metode, yakni metode eliminasi dan substitusi. Lantas, apa yang dimaksud dengan metode eliminasi & subsitusi sistem persamaan linier tiga variabel? Berikut penjelasannya!
Metode substitusi
Penyelesaian SPLTV (dalam variabel x, y, dan z) dengan mengunakan metode substitusi ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah (a) ke dua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah (b).
Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah ( c ) ke salah satu persamaan semula untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.
Contoh soal dari penyelesaian SPLTV menggunakan metode substitusi, yakni:
x + y + z = -6 … (1)
x – 2y + z = 3 … (2)
-2x + y + z = 9 … (3)
Maka penyelesaiannya pertama kali adalah dengan mengubah persamaan (1) menjadi z = -x – y – 6 menjadi persamaan (4), seperti ini: x – 2y + z = 3
x – 2y + (-x – y – 6) = 3
x – 2y – x – y – 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Setelah menemukan y = -3, maka substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3), seperti ini:
-2x + y + (-x – y – 6) = 9
-2x + y – x – y – 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Nilai x dan y akhirnya sudah ditemukan. Setelah itu, persamaan (4) agar bisa memperoleh nilai z yang dicari, seperti ini:
z = -x – y – 6
z = -(-5) – (-3) – 6
z = 5 + 3 – 6
z = 2
Maka ditemukan lah x, y, dan z, yakni -5, -3, dan 2.
Metode Eliminasi
Setelah mengetahui metode substitusi, berikut penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi, sebagai berikut:
Eliminasi salah satu variabel , x atau y atau z, sehingga diperoleh SPLDV.
Selesaikan SPLDV pada langkah (a) dengan mengeliminasi variabel kedua untuk mendapatkan nilai variabel ketiga atau mengeliminasi variabel ketiga untuk mendapatkan variabel kedua.
Ulangi langkah (a) dan (b) dengan pemilihan variabel berbeda sampai didapatkan nilai dari ketiga variabel.
Contoh soal penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi, yakni:
2x + 3y – z = 20 … (1)
3x + 2y + z = 20 … (2)
X + 4y + 2z = 15 … (3)
Awal mula, jumlahkan terlebih dahulu persamaan (1) dan (2) dengan cara seperti ini:
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20
------------------------+
5x + 5y = 40
x + y = 8 … (4)
Setelah itu, kalikan 2 pada persamaan (2) dan kalikan 1 pada persamaan (1) hingga menjadi seperti ini:
3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15
-------------------------
5x = 25
x = 5
Ketika sudah mendapatkan nilai x dari penyelesaian tersebut, maka substitusikan ke dalam persamaan (4), seperti ini:
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Baik nilai x dan y sudah ditemukan, kemudian substitusikan ke dalam persamaan (2) untuk mencari z, seperti ini:
3x + 2y + z = 20
3(5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Berdasarkan metode penyelesaian tersebut, maka ditemukan x, y, dan z adalah 5, 3, dan -1.
(JA)