Model Persamaan Linear Dua Variabel: Eliminasi hingga Substitusi

Ilustrasi menyelesaikan persamaan linear dua variabel dengan berbagai model. Foto: Pixabay

Model persamaan linear dua variabel lazim digunakan untuk menyelesaikan permasalahan matematika. Model ini digunakan, ketika murid-murid diberi perintah menjawab pertanyaan yang berhubungan dengan permasalahan sehari-hari.

Persamaan linear dua variabel adalah sebuah persamaan yang memuat dua variabel. Pangkat atau derajat pada masing-masing variabelnya diketahui sama dengan satu.

Adapun bentuk umum dari persamaan ini, yaitu:

Sebagai keterangan, a dan b adalah koefisien, sedangkan c adalah konstanta.

Dalam kehidupan sehari-hari, sistem persamaan linear dua variabel bisa digunakan untuk menentukan harga barang, mencari keuntungan penjualan, dan berbagai perhitungan matematika lainnya.

Berdasarkan buku Ayo, Belajar Persamaan, Pertidaksamaan, dan Sistem Persamaan Linear! milik Mirna Indrianti (2019: 34), terdapat tiga cara untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dua variabel, yaitu menggunakan model eliminasi, model substitusi, dan model gabungan.

Agar lebih memahami perbedaan di antara ketiganya, simak penjelasan dan contoh soal penyelesainnya berikut ini.

Ilustrasi soal Matematika yang dikerjakan dengan SPLDV. Foto: Pixabay

Model Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Model Substitusi

Model substitusi adalah mengubah antara satu variabel dengan variabel dari persamaan lainnya.

Contoh soal:

Tentukan nilai dari variabel x dan ya dari kedua persamaan berikut:

2x + 4y = 28

3x + 2y = 22

Jawab:

Pertama, pilih salah satu persamaan yang akan dipindahkan elemennya. Misalnya, pilih persamaan pertama yaitu:

2x + 4y = 28.

Lalu, pilih variabel y untuk dipindahkan ke ruas kanan. Maka, persamaannya berubah menjadi:

2x = 28 – 4y

Sebab memilih variabel y yang dipindah, maka koefisien pada variabel x dihilangkan, dengan cara membagi masing-masing ruas dengan nilai koefisien x.

2x/2 = 28-4y/2

Maka, dihasilkan persamaan x = 14 – 2y sebagai bentuk solusi dari variabel x.

Setelah itu, gabungkan persamaan 3x + 2y = 22 (yang sebelumnya tidak pilih pada soal) dengan persamaan x = 14 – 2y. Caranya, yaitu ganti variabel x dengan persamaan x = 14 – 2y. Jadi, diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

3 x + 2y = 22

3 (14 – 2y) + 2y = 22

42 – 6y + 2y = 22

-4y = 22 – 42

-4y = -20

-4y/-4 = -20/-4

y = 5

Maka, ditemukan variabel y adalah 5.

Setelah ditemukan variabel y = 5, sekarang cari x dengan memasukkan 5 sebagai variabel y.

x = 14 – 2y

x = 14 – 2(5)

x = 14 – 10

x = 4.

Maka, ditemukan variabel x adalah 4.

Jadi, nilai x dan y dari soal SPLDV di atas adalah x = 4 dan y = 5.

2. Model Eliminasi

Penyelesaian SPLDV menggunakan model eliminasi adalah dengan menghapus atau menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan tersebut.

Misal, variabel dalam persamaan adalah a dan b, untuk mencari nilai a, harus menghilangkan b terlebih dahulu, begitu juga sebaliknya.

Contoh Soal:

Tentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut:

x + 2y = 20

2x + 3y = 33

Jawab:

Pertama, cari nilai variabel x dengan menghilangkan y pada masing-masing persamaan.

x + 2y = 20

2x + 3y = 33

Koefisien pada variabel y dari masing-masing persamaan tersebut adalah 2 dan 3.

Selanjutnya, cari KPK (kelipatan persekutuan terkecil) dari 2 dan 3.

2 = 2, 4, 6, 8, …

3 = 3, 6, 8, …

Setelah tahu KPK dari 2 dan 3 adalah 6, bagi angka 6 dengan masing masing koefisien.

6 : 2 = 3 → x3

6 : 3 = 2 → x2

Kemudian, kalikan dan lakukan eliminasi dengan menggunakan hasil pembagian masing-masing.

x + 2y = 20 | x3

2x + 3y = 33 | x2

Maka, menghasilkan:

3x + 6y = 60

4x + 6y = 66

-x = -6

x = 6

Jadi, dapat diketahui bahwa nilai x = 6. Untuk mencari variabel y, bisa menggunakan cara yang sama, tetapi perlu dibalik terlebih dahulu.

Ilustrasi mengerjakan soal persamaan linear dua variabel untuk menyelesaikan permasalahan Matematika sehari-hari. Foto: Pixabay

3. Model Gabungan/Campuran

Model ini sering dikenal dengan metode hybrid. Model ini menggabungkan dua model, yakni eliminasi dan substitusi untuk mencari solusi dari persamaan dua variabel.

Model gabungan biasanya digunakan sebagai alternatif untuk menentukan besaran nilai secara cepat dan praktis. Untuk mencari nilai satu variabel digunakan model eliminasi, sedangkan untuk mencari nilai variabel lainnya digunakan model substitusi.

Contoh Soal:

Umur Rani 7 tahun lebih muda dari umur Fadil, sedangkan jumlah umur mereka berdua adalah 43 tahun. Berapa umur Rani dan umur Fadil?

Penyelesaian:

Tentukan nilai x dan y pada dua persamaan di bawah ini dengan model gabungan:

4x + 3y = 25

2x + 7y = 29

Pertama, cari nilai y terlebih dahulu dengan metode eliminasi.

Sebab koefisien x pada kedua variabel adalah 4 dan 2, maka cari KPK 4 dan 2.

4 = 4, 8, 12, …

2 = 2, 4, 6, 8, …

KPK kedua koefisien tersebut adalah 4. Selanjutnya bagi 4 dengan masing masing koefisien, lalu kalikan.

4 : 4 = x1

4 : 2 = x2

4x + 3y = 25 | x1

2x + 7y = 29 | x2

4x + 3y = 25

4x + 14y = 58

-11y = -3300

y = 3300 : 11

y = 300

Maka, nilai dari y adalah 300.

Sekarang, cari nilai x dengan metode substitusi. Nilai y sudah diketahui yaitu 300, sehingga langsung masukkan saja ke persamaan.

4x + 3y = 25

4x + 3(300) = 25

4x + 900 = 25

4x = 2500 – 900

4x = 1600

x = 1600 : 4

x = 400.

Maka, diketahui nilai x adalah 400, sehingga nilai x dan y masing masing adalah 400 dan 300.

(VIO)