Nilai Optimum: Pengertian, Langkah Penyelesaian, dan Contoh Soalnya

Ilustrasi mempelajari nilai optimum dalam program linear Matematika. Foto: Pixabay

Dalam materi program linear matematika, siswa-siswa dihadapkan persoalan menentukan nilai optimum. Program linear sendiri adalah suatu teknik optimalisasi pada variabel-variabel yang linear.

Metode program liner digunakan saat seseorang dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak menghendaki keputusan yang optimum, baik itu maksimum, maupun minimum.

Menurut buku Mudah dan Aktif Belajar Matematika karya Tri Dewi Listya (2009: 40), dasar matematis persamaan linear ax + by = c (dengan x dan y adalah variabel, sedangkan a, b, dan c adalah konstanta) membagi bidang atas tiga bagian, yaitu:

• Titik-titik yang memenuhi persamaan ax+by=c

• Titik-titik yang memenuhi persamaan ax+by<c

• Titik-titik yang memenuhi persamaan ax+by>c

Lalu, seperti apa cara menentukan nilai optimum pada program linear? Simak penjelasannya berikut ini.

Ilustrasi menyelesaikan soal nilai optimum beserta grafiknya. Foto: Pixabay

Pengertian Nilai Optimum dan Cara Menentukannya

Nilai optimum adalah nilai maksimum atau minimum pada suatu program linear. Fungsi yang dicari nilai optimumnya disebut sebagai fungsi objektif atau fungsi tujuan (fungsi sasaran), sedangkan fungsi-fungsi pertidaksamaan yang membatasi disebut fungsi pembatas atau fungsi kendala (fungsi konstrain).

Adapun cara menentukan nilai optimum dengan dua metode, yaitu:

1. Poligonal dan Titik Ekstrem

Cara menentukannya berdasarkan irisan dari sejumlah penyelesaian yang membentuk suatu polgional (segi banyak). Titik P disebut titik ekstrem dari poligonal, jika P adalah titik potong garis yang membentuk poligonal tersebut.

2. Garis Selidik

Garis selidik adalah garis fungsi tujuan yang digeser secara sejajar. Misal, fungsi tujuannya adalah f (x, y) = px = qy, maka garis selidiknya px = qy = k. Untuk (x, y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi tujuan tersebut.

Beberapa kemungkinan tentang garis selidik adalah sebagai berikut:

• Jika k=0, maka px + qy = o melalui titik (0,0) dan memberikan nilai minimum (0,0).

• Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) atau ke kiri (masalah minimum), sehingga menyentuh titik terakhir dari poligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum/minimum diperoleh.

Ilustrasi model matematika dengan nilai optimum. Foto: Pixabay

Model Matematika dengan Nilai Optimum

Masalah program linear adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Optimalisasi ini harus dibentuk dahulu oleh model matematikanya, yang secara garis besar dibagi dua bagian, yaitu fungsi tujuan dan persyaratannya.

Adapun langkah penyelesaiannya, yaitu:

1. Tentukan variabel model matematikanya (x dan y).

2. Tentukan jenis masalah, nilai maksimum, atau minimumnya.

3. Bentuk fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendalanya.

4. Tentukan daerah penyelesaian dan gambar grafiknya yang diperoleh dari poligon serta titik ekstremnya.

5. Substitusikan fungsi tujuan ke titik ekstrem tersebut atau gunakan garis selidik.

Contoh Soal dan Pembahasan

Menghimpun dari buku Big Book SBMPRN SAINTEK 2016 oleh Dewi Rossalia, M.Pd (2015: 78), berikut contoh soal nilai optimum beserta pembahasannya.

1. Diketahui fungsi kuadrat: f(x) = 8x2 16x 1

Tentukan:

a. Bentuk grafik fungsi kuadrat

b. Nilai optimum dan titik optimum

Jawab:

f(x) = 8x2 16x 1

a = 8, b = 16, c = 1

a. Sebab a < 0, berarti grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang menghadap ke bawah (terbuka ke bawah).

b. Nilai optimum:

Soal nilai optimum. Foto: Situs Resmi Kemdikbud

Nilai optimum ini merupakan nilai maksimum, karena grafik fungsi kuadrat menghadap ke bawah. Oleh sebab itu, titik optimumnya (1, 7).

(VIO)

Frequently Asked Question Section

Apa yang dimaksud dengan garis selidik?

Garis selidik adalah garis fungsi tujuan yang digeser secara sejajar.

Ada berapa metode menemukan nilai optimum?

Ada dua, yaitu poligonal dan titik ekstrem, serta garis selidik.

Kapan metode program linear dibutuhkan?

Metode program liner digunakan saat seseorang dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak menghendaki keputusan yang optimum, baik itu maksimum, maupun minimum.