Pengertian Matriks, Jenis-Jenis, Transpose, dan Contoh Soal

Ilustrasi pengertian matriks. Foto; unsplash.com.

Memahami pengertian matriks dan jenis-jenisnya dapat membantu Anda untuk mengerjakan berbagai soal. Matriks adalah salah satu materi Matematika yang akan diterima pada kelas XI. Memahami materi ini dapat menyelesaikan masalah di berbagai bidang.

Contohnya pada bidang ekonomi, matriks dapat digunakan untuk memecahkan masalah berbagai data dengan menetapkan berbagai variabel. Tak hanya itu, matriks juga berfungsi membantu suatu pemrograman komputer hingga investigasi laporan minyak bumi.

Sebagai ilmu dasar mempelajari matriks, simaklah pengertian matriks, jenis-jenis, dan berbagai contoh soalnya pada artikel ini. Selain itu, akan diungkap pula materi transpos matriks dan syarat-syarat operasi matriks agar dapat mengerjakan soal dengan mudah.

Pengertian Matriks

Ilustrasi pengertian matriks. Foto; unsplash.com.

Mengutip buku Determinan Matriks Persegi & Non Persegi oleh Zaini, dalam ilmu Matematika, matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Setelah itu, bilangan tersebut ditempatkan dalam tanda kurung.

Tanda kurung untuk matriks bisa berupa kurung biasa “()” atau kurung siku “[]”. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut sebagai elemen matriks.

Data yang terletak pada baris dan kolom tertentu pada matriks disebut entri matriks. Agar lebih paham, berikut ilustrasi sifat-sifat matriks yang perlu dipahami.

Ilustrasi tangkapan layar dari buku Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian oleh Dini Afriyanti.

Lebih lanjut, suatu matriks diberi nama menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan seterusnya, sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Berikut ilustrasinya:

A = (1 2 ) dan B = (2 -1 3)

(3 4 ) (0 5 -6)

(4 -2 8)

Baca Juga: Cara Menentukan Ordo Matriks dan Contoh Soalnya

Ukuran dan Elemen Matriks

Ilustrasi elemen dan ukuran matriks. Foto; unsplash.com.

Setiap bilangan matriks juga memiliki ukuran dan elemen. Mengutip buku Matriks, Vektor, dan Program Linier oleh Kumala Indriati, ukuran matriks disebut dengan ordo. Ukuran matriks didasarkan pada banyak baris dan kolom yang dimiliki matriks tersebut.

Jadi, jika suatu matriks A memiliki m baris dan n kolom, maka matriks A tersebut berukuran atau berordo m x n. Sederhananya ordo matriks dapat disimbolkan dengan huruf m x n. Lebih lanjut, masing-masing bilangan pada matriks disebut elemen.

Elemen-elemen matriks dinotasikan dengan huruf kecil dan diberi indeks yang menyatakan letak baris dan kolom. Agar tidak bingung, simaklah gambar contoh matriks di bawah ini.

ilustrasi ukuran dan elemen matriks. Foto: kemendikbud.go.id.

Pada gambar di atas a11 menyatakan elemen matriks A pada baris ke- 1 kolom ke -1 nilainya adalah nol. Pada huruf a12 menyatakan elemen matriks A pada baris ke -1 kolom ke 2 nilainya adalah 1.

Pada gambar a54 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-5 kolom ke-4 nilainya adalah 2.

Jenis-Jenis Matriks

Ilustrasi jenis-jenis matriks. Foto; unsplash.com.

Setelah memahami ukuran dan elemen dari matriks, sekarang saatnya untuk mengetahui jenis-jenis matriks dalam ilmu matematika. Mengutip buku SUU: Matriks oleh Husein Tampomas, setidaknya ada 11 jenis matriks yang perlu dipahami setiap siswa, di antaranya yaitu:

1. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang memiliki banyak baris dan kolom sama atau matriks yang berordo nxn atau memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Contohnya yaitu:

A= (2 6) B= (2 1 -3)

(5 3) (4 6 -8)

(-1 5 7)

Matriks A adalah matriks ordo 2 x 2, sedangkan matriks B adalah matriks dengan ordo 3x3.

2. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemen penyusunnya sama dengan nol. Berikut contohnya sebagai ilustrasi:

B= (0 0) C= (0 0 0)

(0 0) (0 0 0)

(0 0 0)

3. Matriks Baris

Matriks baris juga disebut dengan vektor baris, yakni matriks yang terdiri satu baris atau matriks berordo 1xn. Contohnya:

E = ( 3 2 -1 6)

F = (1 6- 0 2 3 4)

4. Matriks Kolom

Matriks kolom disebut dengan vektor lajur, yakni matriks yang terdiri atas satu kolom atau matriks dengan ordo n x1. Contohnya, yaitu:

G= (3) H= (1)

(6) (1)

(2)

(3)

5. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang elemen-emlemen di bawah atau di atas diagonal utama seluruhnya nol. Berikut ilustriasinya.

Matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah

H = (1 3 5) I = (2 0 0)

(0 6 -2) (3 5 0)

(0 0 4) (-1 7 8)

6. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang memiliki elemen 0 di seluruh tempat kecuali pada bilangan elemen diagonal. Berikut contoh ilustrasinya:

J = (3 0 0)

(0 2 0)

(0 0 -5)

7. Matriks Skalar

Matriks skalar adalah matriks diagonal yang memiliki elemen elemen bilangan sama pada diagonal utama. Berikut contohnya.

K= (5 0 0)

(0 5 0)

(0 0 5)

8. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks satuan yang dilambangkan dengan 1 pada bilangan diagonal utama. Contohnya:

L = (1 0) M = (1 0 0)

(0 1) (0 1 0)

( 0 0 1)

Matriks L adalah contoh matriks identitas yang memiliki ordo 2. Sedangkan matriks M adalah matriks identitas yang memiliki ordo 3x3.

9. Matriks Simetris

Matriks simetris adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada setiap kolom diagonal memiliki nilai sama. Simak contoh matriks ordo 3x3 di bawah ini.

N = (0 1 3)

(1 5 7)

(3 7 4)

10. Matriks Mendatar

Matriks mendatar adalah matriks yang banyak barisnya kurang dari banyak kolomnya. Berikut ilustrasinya:

O = ( 2 -1 0 3)

(4 5 -2 7)

11. Matriks Tegak

Matriks tegak adalah matriks yang memiliki jumlah kolom lebih sedikit. Contohnya:

P = ( 2 -3)

(-1 4)

(0 7)

(5 -2)

Transpose Matriks dan Syarat-Syarat Operasi Matriks

Ilustrasi transpose dan syarat-syarat matriks. Foto; unsplash.com.

Mengutip buku Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian oleh Dini Afriyanti, transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran antara baris dan kolom.

Misalnya matriks A = ( a b) maka matriks AT = ( a c)

(c d) (b d)

Perlu diketahui, operasi matriks dapat dilakukan hanya jika memenuhi syarat dan ketentuannya. Operasi matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan transpose.

Syarat penjumlahan dan pengurangan matriks, yakni:

Berikut controh ilustrasinya:

ilustrasi operasi penjumlahan. Foto: kemendikbud.go.id.

Pada operasi perkalian, bilangan matriks dapat dilakukan operasi perkalian skalar dan pekalian dua matriks. Operasi perkalian skalar adalah matriks yang dikalikan dengan bilangan skalar. Berikut contoh ilustrasinya:

ilustrasi pekalian skalar Foto: kemendikbud.go.id.

Sedangkan perkalian dua matriks memiliki syarat yakni terdiri dari dua buah matriks. Misal matriks A dan matriks B, dapat dikalikan adalah jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Berikut controh ilustrasinya:

ilustrasi pekalian dua matriks. Foto: Indah Pranataning Tyas/Kumparan.com.

Contoh Soal Matriks

Ilustrasi contoh matriks. Foto; unsplash.com.

Sebagai bahan belajar, berikut beberapa contoh soal matriks dengan operasi penjumlahan yang dapat dipelajari dikutip dari buku SUU: Matriks oleh Husein Tampomas:

Contoh Soal 1

Diberikan matriks A, B, C dengan nilai-nilai berikut ini

A = ( 1 2 ), B= (2 -1), dan C = (0 1)

(3 4) (0 3) (-3 5)

Tentukan:

a. (A+B) + C

b. A + (B+C)

c. Apakah (A+B)+C = A+ (B+C)?

Jawaban:

a. (A+B)+C= {( 1 2) + (2 -1)} + (0 1)

{(3 4) (0 3)} (-3 5)

= (3 1) + ( 0 1)

(3 7) (-3 5)

= (3 2)

(0 12)

b. A+ (B+C) = (1 2 ) + {(2 -1) + (0 1)}

(3 4) {(0 3) (-3 5) }

= (1 2)+ (2 0 )

(3 4) (-3 8)

= (3 2)

(0 12)

c. Ternyata (A+B) + C = A + (B+C)

Contoh Soal 2

Diberikan matriks A, B, dan C dengan nilai berikut ini:

A = ( 1 2 5 ) B =( 10 12 13) C = (1 2)

( 4 6 9) (15 17 21) ( 3 1)

Tentukan:

a. A+B

b. A+C

Jawabannya:

A+B = ( 1 2 5 ) + (10 12 13)

( 4 6 9) (15 17 21)

= (1 +10 2+12 5+13)

(4+15 6 +17 9 +21)

= (11 14 18)

(9 23 30)

(IPT)