Persamaan Kuadrat Baru: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soalnya

Ilustrasi persamaan kuadrat. Foto: iStock

Dalam matematika, persamaan kuadrat baru adalah suatu persamaan kuadrat yang dibentuk berdasarkan akar dan masih berkaitan dengan akar persamaan kuadrat lama.

Agar dapat menyusun persamaan kuadrat tersebut, dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk lebih jelasnya, simak pembahasan berikut.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, diperlukan rumus yang diperoleh dengan cara memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.

ax² + bx + c = 0

x1 + x2 = -b/a

x1 . x2 = c/a

Persamaan yang digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat baru adalah sebagai berikut.

• Persamaan kuadrat awal adalah ax² + bx + c = 0

• Persamaan kuadrat baru adalah x² - (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0

Ilustrasi persamaan kuadrat awal. Foto: iStock

Jadi, x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat. Kemudian, untuk mencari persamaan kuadrat baru dapat menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

• Dengan cara menentukan jumlah dari hasil perkalian akar pada persamaan kuadrat awal.

• Dengan cara menentukan jumlah dan juga hasil perkalian pada akar-akar persamaan kuadrat baru yang telah diketahui.

• Dengan cara membentuk persamaan kuadrat baru yang sesuai rumus yang telah diberikan, yaitu x² - (x1 + x2)x + x1. x2 = 0 atau (x - x1) (x - x2) = 0.

Dikutip dari Big Bank Soal + Bahas Matematika SMA oleh Prasetya Adhi Nugroho, diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari ax² + bx + c maka dapat disusun persamaan kuadrat yang baru sebagai berikut.

1. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah nx1 dan nx2, maka invers akarnya adalah x1/n dan x2/n. Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah a(x/n)² + b(x/n) + c = 0.

2. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah -x1 dan -x2, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah ax² - bx + c = 0.

3. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah 1/x1 dan 1/x2 (berkebalikan), maka akar persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah cx² + bx + a = 0.

4. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + x2 dan x1 . x2, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah a²x² + (ab - ac) x - bc = 0.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat Baru

Ilustrasi mengerjakan soal persamaan kuadrat baru. Foto: iStock

Berikut contoh soal menentukan persamaan kuadrat baru.

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x² - x + 2 = 0, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 - 2 dan 2x2 - 2!

Jawab:

x² - x + 2 = 0

→ x1 . x2 = 2

→ x1 + x2 = 1

Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat baru, maka:

α + β = (2x1 - 2) + (2x2 - 2) = 2(x1 + x2) - 4 = 2(1) - 4 = -2

α . β = (2x1 - 2) . (2x2 - 2) = 4(x1 . x2) - 4(x1 + x2) + 4 = 4(2) - 4(1) + 4 = 8

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α dan β adalah:

x² - (α + β)x + (αβ) = 0

x² - (-2)x + 8 = 0

x² + 2x + 8 = 0

(SFR)