Prinsip Induksi Matematika dan Metode Pembuktiannya

Prinsip induksi matematika adalah prinsip yang digunakan untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan dalam bentuk bilangan bulat. Foto: Unsplash.com

Prinsip induksi matematika perlu dipelajari agar mudah untuk memahami metode induksi matematika. Untuk mengetahui prinsip induksi matematika, simak penjelasan di bawah ini.

Induksi matematika secara sederhana dapat diartikan sebagai suatu metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat. Metode ini banyak digunakan untuk menilai apakah suatu pernyataan matematika bersifat benar atau salah.

Hal senada disebutkan oleh Darmawati dalam bukunya Peka Soal Matematika SMA/MA Kelas X, XI & XII, induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran.

Bentuk suatu pernyataan yang diberikan biasanya dalam bentuk bilangan asli. Bilangan asli sendiri adalah bilangan cacah yang lebih besar dari 0.

Perlu ditekankan bahwa dengan induksi matematika seseorang dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan, tidak untuk menemukan suatu rumus.

Bilangan bulat adalah jenis bilangan yang bernilai > 0 yang dapat dibuktikan pernyataannya dengan induksi matematika. Foto: Unsplash.com

Prinsip Induksi Matematika

Dikutip dari modul Induksi Matematika Kelas XI, yang disusun oleh Asmar Achmad, S.Pd, untuk melakukan metode induksi matematika, sekiranya perlu memahami prinsip induksi matematika.

Prinsip induksi matematika adalah salah satu sifat penting dari bilangan bulat positif. Untuk memahami prinsip induksi matematika, simak pernyataan berikut ini.

• Misalkan 𝑃(𝑛) adalah sifat yang didefinisikan untuk suatu bilangan asli 𝑛, dan misalkan pula 𝑎 merupakan suatu bilangan asli tertentu.

Dalam prinsip induksi matematika, apabila dua pernyataan berikut bernilai benar, maka:

• 𝑃(𝑎) bernilai benar.

• Untuk sebarang bilangan asli 𝑘 ≥ 𝑎, apabila 𝑃(𝑘) bernilai benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.

Oleh karena itu, pernyataan untuk sembarang bilangan asli 𝑛 ≥ 𝑎, 𝑃(𝑛) bernilai benar.

Metode Pembuktian Prinsip Induksi Matematika

Prinsip induksi matematika tentunya dapat diterapkan dalam metode pembuktian. Dalam proses penerapannya, dibutuhkan langkah-langkah tertentu.

Langkah dalam metode pembuktian induksi matematika biasanya dilakukan dengan langkah dasar atau basic step dan langkah induktif atau induksi.

Untuk memahami kedua langkah tersebut, perhatikan contoh pernyataan berikut:

Suatu pernyataan menyatakan “Untuk sembarang bilangan asli 𝑛 ≥ 𝑎, dengan 𝑎 adalah bilangan asli tertentu, sifat 𝑃(𝑛) bernilai benar.”

Agar dapat membuktikan pernyataan tersebut, diperlukan dua langkah tadi, yaitu:

• Langkah dasar (basis step) yang bertujuan untuk menunjukkan bahwa 𝑃(𝑎) bernilai benar.

• Langkah induktif (inductive step) untuk membuktikan bahwa sebarang bilangan asli 𝑘 ≥ 𝑎, dengan 𝑎 adalah bilangan asli tertentu, jika 𝑃(𝑘) bernilai benar maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.

Contoh Soal Metode Pembuktian Induksi Matematika

Ilustrasi seseorang menyelesaikan metode pembuktian pernyataan menggunakan prinsip induksi matematika. Foto Unsplash.com

Agar lebih memahami metode pembuktian yang telah dijelaskan sebelumnya, berikut contoh soal yang menggunakan metode pembuktian induksi matematika dengan dua langkah.

Contoh Soal

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n^2. (ket: ^ = pangkat)

Penyelesaian

Seperti yang dijelaskan sebelumnya, untuk membuktikan pernyataan dengan metode induksi matematika menggunakan dua langkah. Maka, penerapannya untuk menyelesaikan soal di atas ialah sebagai berikut:

1. Langkah dasar untuk menunjukkan 𝑃(n) bernilai benar:

Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1^2 = 1.

Maka, pernyataan di atas bersifat benar karena bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

2. Langkah induktif

Apabila 𝑃(n) bernilai benar, yakni pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n ^2, maka pernyataan P(n +1) juga perlu dibuktikan, yakni menjadi:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

Maka, penyelesaian pembuktiannya ialah:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

= n^2+ (2n + 1)

= n^2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Berdasarkan penyelesaian di atas, hasil dari langkah dasar dan langkah induksi telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n^2.

(SAI)