Rumus Nilai Minimum dan Maksimum beserta Contoh Soal
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 5 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarDaftar isi
Daftar isi
Daftar isi
Dalam matematika, terdapat materi nilai minimum dan maksimum. Nilai maksimum dan minimum fungsi sejatinya adalah aplikasi atau penerapan dari konsep turunan.
Untuk memahami konsep dan rumus nilai minimum serta maksimum. Simak penjelasan selengkapnya di bawah ini.
Pengertian Nilai Minimum dan Maksimum
Nilai suatu fungsi dikatakan maksimum jika nilai dari fungsi tersebut paling besar dan sebaliknya, nilai suatu fungsi dikatakan minimum jika nilai suatu fungsi tersebut paling kecil pada sebuah selang atau interval tertutup.
Dalam matematika, nilai minimum digambarkan dalam bentuk kurva. Kurva tersebut menjelaskan nilai minimum dan maksimum. Dalam kurva terdapat titik A,B,C,D, dan E.
Titik A adalah titik maksimum mutlak karena posisinya lebih tinggi. Kemudian kurva menuju titik B yang lebih pendek dari A, titik B disebut titik minimum relatif.
Selanjutnya, titik C yang disebut titik maksimum relatif. Lalu, titik D adalah titik minimum mutlak karena berada di palung kurva. Sementara titik E adalah titik minimum relatif.
Kurva tersebut menjelaskan jika f(a) > f(x), maka untuk semua nilai x pada domain f, maka f(a) adalah nilai maksimum mutlak (absolut).
Sedangkan fungsi f jika f(b) < f(x) untuk semua nilai x pada domain f, maka f(b) adalah nilai minimum mutlak (absolut) dari fungsi f.
Cara mendapatkan nilai minimum sama seperti mendapatkan nilai maksimum, yaitu mencari tahu terlebih dulu minimum suatu daerah himpunan penyelesaian.
Berdasarkan hasil pengujian titik pojok, didapatkan nilai-nilai yang memenuhi fungsi tujuan. Nilai maksimum dan minimum ini sebagian besar digunakan pada soal cerita.
Rumus Nilai Minimum dan Maksimum
Mengutip dari situs konsep-matematika.com, berikut cara menyelesaikan soal dengan terapan fungsi kuadrat.
Buat model matematika dalam bentuk fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c
Tentukan nilai maksimum atau minimumnya dengan rumus fungsi kuadrat berikut:
Jika a > 0, maka nilai minimum = D/-4a
Jika a < 0, maka nilai maksimum = D/-4a
Nilai yang menyebabkan maksimum atau minimum = -b/2a
Catatan: D = b² - 4ac yang disebut dengan diskriminan.
Contoh Soal
Berikut adalah contoh soal nilai maksimum dan minimum yang dapat kamu pelajari.
Contoh 1
Sebuah balok tanpa tutup dengan alas persegi (𝑥 . 𝑥) dan tinggi 𝑡 mempunyai volume 180 𝑐𝑚³. Agar luas permukaan balok minimum, maka besar nilai 𝑥 adalah …
Jawab
Pertama-tama nyatakan 𝑡 dalam 𝑥 dengan menggunakan volume balok dengan alas persegi tersebut.
V = 108
𝑥 . 𝑥 . 𝑡 = 108
𝑥² . 𝑡 = 108
𝑡 = 108/𝑥²
Dengan demikian dapat dinyatakan luas permukaan (𝐿) balok sebagai fungsi terhadap 𝑥 sebagai berikut.
𝐿(𝑥) = 4(𝑥 .𝑡) + (𝑥 . 𝑥)
𝐿(𝑥) = 4𝑥𝑡 + 𝑥²
𝐿(𝑥) = 4𝑥 108/𝑥² + 𝑥²
𝐿(𝑥) = 432x'-1 + 𝑥² (pangkat -1)
Luas permukaan akan miniumum saat 𝐿′(𝑥) = 0 sehingga
𝐿′(𝑥) = 0
−432𝑥-² + 2𝑥 = 0
2𝑥 = 432𝑥-²
𝑥³ = 216
𝑥 = √216
𝑥 = 6
Jadi, besar nilai 𝑥 agar luas permukaannya minimum adalah 6 cm.
Contoh 2
Terdapat sebuah kawat dengan panjang 90 cm. Kawat tersebut akan dipotong menjadi 2 bagian, satu bagian untuk bahan membuat segitiga sama sisi dengan panjang 𝑥 cm dan satunya digunakan untuk membuat persegi. Agar jumlah luasnya maksimum, tentukanlah nilai 𝑥.
Jawab
Diketahui segitiga sama sisi memiliki panjang sisi 𝑥, maka kawat yang dibutuhkan adalah 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 3𝑥 cm. Sedangkan sisa kawat akan dijadikan bahan membuat persegi adalah (90 − 3𝑥) cm. Jadi,
Spersegi = (90-3x)/4
Lpersegi = (90-3x)/4 . (90-3x)/4
Lpersegi = (90-3x)²/16
Kemudian, dapat diperolah Lsegitiga sebagai berikut.
Lsegitiga = 1/2 . x . x. sin60° = 1/4√3𝑥²cm²
Setelah diketahui luas persegi dan luas segitiga, maka dapat ditulis fungsi 𝑓 sebagai berikut.
f(x) = (90-3x)²/16 + 1/4√3𝑥²
Agar 𝑓(𝑥) maksimum, maka harus dibuat 𝑓′(𝑥) = 0
𝑓′(𝑥) = 0
(2)(90−3𝑥)(−3)/16 + 1/4√3(2)𝑥 = 0
18𝑥−540/16 + 2/4√3𝑥 = 0
9𝑥 − 270 + 4√3𝑥 = 0
9𝑥 + 4√3𝑥 = 270
𝑥 = 270/9+4√3 cm
Jadi, agar luasnya maksimum, nilai x yang tepat adalah 𝑥 = 270/9+4√3 cm.
Contoh 3.
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum untuk fungsi-fungsi f(x)=−x² +2x + 8f dalam interval 0≤ x ≤3
Jawab
Nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu fungsi merupakan salah satu aplikasi turunan suatu fungsi. Jika dipunyai interval tertutup [a,b], kurva fungsi y = f(x) mencapai nilai maksimum dan minimum saat
di ujung selang/interval [a,b]
Akan dicari nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = −x² + 2x + 8 maka terlebih dahulu cari turunan pertamanya.
f(x)=−x² + 2x + 8 maka f′(x)=−2x+2
f(x) maksimum atau minimum saat f′(x)=0 maka :
f′(x) = 0
−2x + 2 = 0
−2x = −2
x = 1
Selanjutnya substitusi nilai x ke fungsi f(x) untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya.
f′(x) = 0
x = 1 ⟹ f(x)= −(1)² + 2(1) + 8 = −1 + 2 + 8= −1 + 2 + 8 = 9 =9 (Maksimum)
saat di ujung selang / interval [0,3]
x = 0 ⟹ -0² + 2(0) + 8 = 8
x = 3 ⟹ f(x) = −3² + 2(3) +8 = −9 + 6 + 8 = 5 (Minimum)
Jadi, nilai maksimum dari fungsi i f(x)=−x² + 2x +8 dalam interval 0≤ x ≤3 adalah 9 dan nilai minimumnya adalah 5.
(DEL)