Rumus Silogisme, Jenis-jenis, dan Contoh Soal

Rumus Silogisme. Foto: Pexels

Silogisme dalam matematika adalah setiap penyimpulan, di mana dari dua keputusan (premis-premis) disimpulkan suatu keputusan yang baru (kesimpulan). Pengambilan keputusan tersebut berdasarkan rumus silogisme.

Keputusan yang baru itu berkaitan erat dengan premis-premisnya. Jika premis-premisnya benar, maka dengan sendirinya kesimpulannya benar.

Simak pembahasan selengkapnya mengenai silogisme dalam matematika di bawah ini.

Memahami Rumus Silogisme

Memahami Rumus Silogisme. Foto: Pexels

Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua pernyataan atau premis majemuk, yaitu p ⇒ q dan q ⇒ r yang menghasilkan konklusi p ⇒ r.

Secara simbolis, prinsip silogisme memiliki struktur atau kaidah sebagai berikut:

p ⇒ q dibaca "jika p, maka q". (premis 1)

q ⇒ r dibaca "jika q, maka r" (premis 2)

∴ p ⇒ r dibaca "kesimpulannya, jika p maka r. (konklusi)

Dengan demikian, maka rumus silogisme adalah: [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r).

Contohnya:

Pembahasan:

Diketahui:

Selanjutnya, masukkan dalam rumus:

Jadi, didapatkan kesimpulan bahwa p ⇒ r, yaitu "Jika harga BBM naik maka harga-harga naik".

Baca Juga: Cara Menghitung Limit Tak Hingga dalam Matematika

Jenis-jenis Silogisme Hipotesis

Jenis-jenis Silogisme Hipotes. Foto: Pexels

Silogisme dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu silogisme hipotesis murni dan tidak murni.

Dalam silogisme hipotesis murni, premis yang digunakan biasanya berbentuk proposisi kondisional, yakni bentuk kalimat asumsi yang mengikuti bentuk sebab-akibat, seperti "jika … maka …", "kalau … maka …", dan sejenisnya.

Sementara dalam silogisme hipotesis tidak murni, tidak semua premisnya berbentuk proposisi kondisional.

Silogisme hipotesis dibedakan lagi menjadi tiga jenis, berikut penjelasannya.

1. Silogisme Hipotesis Kondisional

Silogisme hipotetis kondisional ditandai dengan ungkapan-ungkapan: ‘jika… (maka)….

Silogisme kondisional terbagi menjadi dua, yakni modus ponens dan modus tollens. Berikut penjelasannya.

a. Modus ponens

Mengutip Encyclopedia Britannica (2007), modus ponens adalah salah satu cara untuk mendapatkan kesimpulan yang tepat berdasarkan rumus modus ponens.

Secara simbolis, modus ponens memiliki struktur atau kaidah sebagai berikut:

atau,

Dengan demikian, maka rumus modus ponens adalah: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q atau p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q.

Untuk membuktikan kebenaran rumus modus ponens, kamu bisa menggunakan analisis logika matematika dengan tabel kebenaran. Berikut gambaran tabelnya:

P Q P→Q (P→Q) ⋀ P [(P→Q) ⋀ P]→Q

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

b. Modus tollens

Menurut New World Encyclopedia (2018), modus tollens adalah prosedur pengambilan kesimpulan dari dua premis, seperti pada modus ponens.

Namun, yang membedakan modus tollens dari modus ponens adalah jenis premis yang digunakan. Satu premis masih berupa proposisi kondisional yang menyampaikan hubungan sebab dan akibat, tapi premis lainnya berupa negasi dari konsekuensi di premis 1.

Negasi adalah bentuk pernyataan yang diawali dengan lambang (~), yang artinya 'bukan' atau 'tidak'.

Secara simbolis, modus tollens memiliki struktur atau kaidah sebagai berikut:

Dengan demikian, maka rumus modus tollens adalah: [(p ⇒ q) ∧ ~q] ⇒ ~p.

Untuk membuktikan kebenaran rumus modus tollens, kamu bisa menggunakan analisis logika matematika dengan tabel kebenaran. Berikut gambaran tabelnya:

P Q P→Q ~Q (P→Q) ⋀~Q ~P [(P→Q)⋀ ~Q]→~P

B B B S S S B

B S S B S S B

S B B S S B B

S S B B B B B

2. Silogisme Hipotetis Disjungsi

Silogisme hipotetis disjungsi ditandai dengan ungkapan: …., atau ….. Disjungsi dilambangkan dengan ∨. Terdapat 2 jenis disjungsi, yakni disjungsi inklusif dan eksklusif, berikut penjelasannya.

a. Disjungsi inklusi

Disjungsi inklusif yang bernilai benar apabila minimal 1 pernyataan tunggalnya benar. Apabila sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan p dan q, maka:

b. Disjungsi eksklusif

Disjungsi eksklusif yang bernilai benar apabila salah satu (tidak boleh keduanya) dari pernyataan tunggalnya benar. Apabila sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan p dan q, maka:

3. Silogisme Hipotetis Konjungsi

Silogisme hipotetis konjungsi, yang ditandai dengan ungkapan kata hubung "dan". Konjungsi dilambangkan dengan ∧.

Untuk itu, sebuah konjungsi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar.

Sebagai contoh, sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan p dan q. Maka:

Contoh Soal Silogisme

Contoh Soal Silogisme. Foto: Pexels

Contoh 1.

Jika rajin belajar, maka nilai ujian menjadi bagus.

P: rajin belajar

Q: nilai ujian menjadi bagus

Berdasarkan implikasi di atas, ternyata Siska rajin belajar, maka kesimpulan yang tepat adalah ….

A. Siska tidak malas

B. Siska suka belajar

C. nilai ujian menjadi bagus

D. minuman yang dijual hari ini bukan es

Pembahasan:

Mengikuti rumus ponens (Jika P maka Q, dan terjadi P. Maka, kesimpulannya Q), maka jawaban yang benar adalah C.

Contoh 2.

Apabila pernyataan p bernilai benar dan pernyataan q bernilai salah, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah...

A. p ∨ q

B. p → q

C. ~ p ↔ ~ q

D. ~ p ∧ q

E. ~ p ∨ ~ q

Pembahasan:

Sesuai dengan penjelasan sebelumnya, apabila p bernilai benar dan q bernilai salah, maka:

Untuk itu, pernyataan yang memiliki nilai salah ada pada pernyataan C.

Contoh 3.

Jika tidak makan, maka Clara minum banyak air.

Berdasarkan pernyataan di atas, ternyata Clara tidak minum banyak, maka kesimpulan yang tepat adalah ….

A. Clara haus

B. Clara makan

C. Clara tidak makan

D. Clara makan dan minum

Pembahasan:

Karena kalau dirumuskan P → Q, dan yang terjadi ~Q, maka mengikuti rumus modus tollens, kesimpulan yang tepat adalah B.

Contoh 4.

Premis 1: Jika tidak membawa payung maka kehujanan

Premis 2: Jika kehujanan maka akan sakit

Premis 3: Jika sakit maka akan membeli obat

Premis 4: Jika membeli obat maka uang akan habis

Dari premis di atas, maka kesimpulannya adalah ....

Pembahasan

Untuk penarikan kesimpulan, gunakan prinsip silogisme. Ubah dulu ke dalam simbol dan lakukan pencoretan pada dua pernyataan yang sama di dua premis berbeda.

Premis 1: p ⇒ q

Premis 2: q ⇒ r

Premis 3: r ⇒ s

Premis 4: s ⇒ t

Sehingga didapatkan kesimpulan adalah p ⇒ t, yaitu 'Jika tidak membawa payung maka uang akan habis'.

(DEL)