Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi, Non-komutatif hingga Bersifat Identitas

Ilustrasi Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi. Foto: Pixabay

Dalam ilmu matematika, sifat operasi tidak hanya kita temukan pada bilangan riil. Namun juga dalam fungsi komposisi.

Sebelum membahas sifat-sifat operasi fungsi komposisi lebih lanjut, ada baiknya untuk memahami konsepnya berikut ini.

Fungsi Komposisi

Melansir buku Peka Matematika SMA/MA Dasar oleh Darmawati, fungsi atau pemetaan merupakan suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Fungsi komposisi berlaku jika f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, sedangkan g adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan C dinamakan fungsi komposisi dari f dan g yang dilambangkan dengan g ◦ f.

Berdasarkan perumpamaan di atas, maka dapat ditulis f ◦ (g ◦ h)=(f ◦ g) ◦ h. Apabila ditulis dalam bentuk nilai, fungsinya menjadi (f ◦ (g ◦ h))(x)=((f ◦ g) ◦ h)(x).

Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi

Mengutip Buku Guru Kelas X SMA/MA oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, sifat-sifat operasi fungsi komposisi adalah sebagai berikut:

Operasi fungsi komposisi umumnya tidak bersifat komutatif.

(g◦f)(x) ≠ f◦g(x)

Berikut contoh soal seperti yang dikutip melalui Buku Guru Kelas X SMA/MA oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan:

a. (f ◦ g)(x)

*(g ◦ f)(x) = g(f(x))

= g(4x+ 3)

= (4x+ 3) –1

= 4x+ 2

* (f ◦ g)(x) = f(g(x))

= f(x– 1)

= 4(x– 1) + 3

= 4x– 4 + 3

= 4x– 1

Dengan demikian (g ◦ f)(x) = 4x+ 2 dan (f ◦ g)(x) = 4x– 1.

b. Selidiki apakah (g ◦ f)(x) = (f ◦ g)(x)!

Berdasarkan hasil penghitungan butir (a) di atas diperoleh:

(g ◦ f)(x) = 4x+ 2, dan

(f ◦ g)(x) = 4x– 1

Andaikan (g ◦ f)(x) = (f ◦ g)(x)

4x+ 2 = 4x– 1

2 = –1

Hasil yang diperoleh merupakan kontradiksi dari pernyataan. Hasil tersebut menunjukkan jika g ◦ f ≠ f ◦ g (tidak komutatif)

Diketahui f, g, dan h adalah suatu fungsi. Jika Rh ∩ Dg ≠ Ø; Ø;

Rg ∩ Df ≠ Ø; Ø, maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu: f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h

Pada sifat ini posisi tanda kurung tidak memiliki pengaruh terhadap hasil sebuah fungsi komposisi.

f ◦ I = I ◦ f = f

Pada sifat ini, apabila fungsi dikalikan dengan unsur identitas, hasil yang diperoleh memiliki jumlah sama dengan fungsi itu sendiri.

Itulah sifat-sifat operasi fungsi komposisi yang perlu diketahui. Dengan memahami sifat-sifat di atas, kita akan mudah menghitung fungsi komposisi secara tepat.

(ANM)