Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah salah satu materi dalam aljabar. Sumber: Freepik.com

Sistem persamaan linear tiga variabel atau SPLTV adalah salah satu materi yang dipelajari siswa di sekolah, khususnya sekolah menengah atas atau SMA. Materi ini termuat dalam mata pelajaran matematika.

Secara sederhana, sistem persamaan linear tiga variabel dapat diartikan sebagai sebuah persamaan aljabar yang melibatkan tiga variabel. Variabel-variabel tersebut biasanya ditandai dengan huruf-huruf tertentu.

Berikut penjelasan mengenai sistem persamaan linear tiga variabel atau SPLTV.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Dikutip dari buku Mathematics for Senior High School Year X yang diterbitkan oleh Yudhistira Ghalia Indonesia, sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang memiliki tiga variabel.

Oleh karena itu, sistem ini dinilai lebih kompleks jika dibandingkan dengan sistem persamaan linear dua variabel karena sistem dengan tiga variabel ini adalah bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel.

Sistem persamaan linear tiga variabel memiliki bentuk umum, yakni ax + by + cz = d. Keterangan dari bentuk tersebut ialah:

Untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan menggunakan metode subtitusi dan eliminasi.

Kedua metode ini adalah metode yang dipelajari di sekolah untuk menyelesaikan masalah-masalah tertentu, tidak hanya persamaan linear tiga variabel, tetapi juga persamaan linear dua variabel.

Untuk menyelesaikan persamaan sistem linear tiga variabel dapat diselesaikan menggunakan metode subtitus dan eliminasi yang telah dipelajari pada mata pelajaran matematika. Sumber: Pixabay.com

1. Metode Subtitusi

Metode subtitusi adalah cara mengganti salah satu nilai yang tidak diketahui yang mewakili nilai-nilai lainnya yang juga belum diketahui.

Contoh soal:

x + 5y + 3z = 16

x – 2y + 9z = 8

2x + y – z = 7

Tentukan nilai dari x + 3y – 5z?

Penyelesaian:

x + 5y + 3z = 16

x = 16 – 5y – 3z……….(1)

x – 2y + 9z = 8

x = 8 + 2y – 9z…………(2)

2x + y – z = 7

y = 7 – 2x + z…………..(3)

Persamaan (1) sama dengan (2)

16– 5y – 3z = 8 + 2y – 9z

8 = 7y – 6z……………(4)

Persamaan (2) disubstitusi ke persamaan (3)

y = 7 – 2x + z

y = 7 – 2(8 + 2y – 9z) + z

y = 7 – 16 – 4y + 18z + z

y = -9 – 4y + 19z

5y = -9 + 19z

y = (-9+19z)/5………….(5)

Persamaan (5) disubtitusi ke persamaan (4)

8 = 7y – 6z

8 = 7(-9+19z)/5 – 6z

40 = -63 + 133z – 30z

103 = 103z

z = 1

Substitusi nilai z ke persamaan (5)

y = (-9+19z)/5

y = (-9 + 19[1])/5

y = 2

Substitusi nilai y dan z ke persamaan (1)

x = 16 – 5y – 3z

x = 16 – 5[2] – 3[1]

x = 3

Nilai x, y, dan z dimasukkan ke dalam persamaan pertanyaan dapat menghasilkan:

x + 3y – 5z = 3 + 3(2) - 5 (1) = 3 + 6 – 5 = 4

Jadi nilai dari x + 3y – 5z adalah 4.

2. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah metode dengan cara menghilangkan atau mengeliminasi suatu variabel yang belum diketahui nilainya. Berikut contoh soalnya:

Sebuah toko buah menjual berbagai jenis buah-buahan di antaranya mangga, jeruk dan anggur. Jika pembeli pertama membeli 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur dengan harga Rp 70.000,00, pembeli kedua membeli 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur dengan harga Rp 90.000,00.

Pembeli ketiga membeli 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur dengan harga Rp 130.000,00 maka tentukanlah jumlah uang yang harus dibayar oleh seorang pembeli jika ia ingin membeli 1 kg mangga dan 2 kg jeruk.

Tentukanlah jumlah uang yang harus dibayar oleh seorang pembeli jika ia ingin membeli 1 kg mangga dan 2 kg jeruk.

Penyelesaian:

Harga 1 kg mangga = x

Harga 1 kg jeruk = y

Harga 1 kg anggur = z

Ditanya: x + 2y = .....?

Maka diperoleh persamaan dengan model matematika:

2x + 2y + z = 70.000…pers (1)

x + 2y + 2z = 90.000…pers (2)

2x + 2y +3z = 130.000…pers (3)

Pertama, eliminasi persamaan 1 dan 2 dengan menghilangkan nilai y, maka:

2x + 2y + z = 70.000

x + 2y + 2z = 90.000

------------------------

x– z = - 20.000....... pers (4)

Kedua, eliminasi persamaan 1 dan 3 dengan menghilangkan nilai x dan y, maka:

2x + 2y + z = 70.000

2x + 2y +3z = 130.000

------------------------

-2z = 60.000....... pers (5)

z = 30.000

Selanjutnya, masukan nilai z (30.000) ke dalam persamaan 4:

x – z = - 20.000

x – 30.000 = - 20.000

x = -20.000 + 30. 000 = 10.000

Kemudian masukan nilai z = 30.000 dan x = 10.000 ke pers.(1)

2x + 2y + z = 70.000

2(10.000) + 2y + 30.000 = 70.000

20.000 + 2y + 30.000 = 70.000

2y + 50.000 = 70.000

2y = 20.000

y = 10.000

Terakhir, masukkan nilai dari x, y ke dalam persamaan pertanyaan, yaitu x + 2y = 10.000 + 2 (10.000) = 30.000

(SAI)