Ketika Pikiran Menyentuh Angka: Perjalanan 5 Filsuf Cari Hakikat Matematika(III)

Immanuel Kant (Sumber: Net)

Kant: Pikiran yang Membentuk Dunia

Pada tahun 1770-an, di kota kecil bernama Königsberg di Prusia, seorang profesor pendiam bernama Immanuel Kant (1724–1804) merenungkan sebuah teka-teki.

Mengapa 7+5=12 itu benar?

Kant mengatakan, jawabannya tidak terletak pada kata “7” atau kata “5”. Saya dapat memandangi simbol “7” seumur hidup dan saya tidak akan menemukan “12” di sana. Saya harus melakukan sesuatu. Saya harus menghitung. Saya harus mengambil tujuh, lalu menambahkan lima, lalu menyaksikan hasilnya.

Matematika, kata Kant, adalah konstruksi. Seperti seorang tukang membangun rumah. Tetapi tukang ini membangun di dalam ruang imajinasi murni.

Kant lalu mengajukan gagasan yang mengguncang filsafat Eropa. Ruang dan waktu, katanya, bukan di luar sana. Ruang dan waktu adalah cara pikiran kita menata pengalaman. Kita melihat dunia berada dalam ruang dan mengalir dalam waktu, karena begitulah pikiran kita dirancang untuk menangkapnya.

Lalu matematika, kata Kant, lahir dari sini. Geometri lahir karena pikiran kita memiliki struktur ruang bawaan. Aritmatika lahir karena pikiran kita memiliki struktur waktu bawaan. Menghitung adalah melakukan sesuatu dalam waktu. Satu, lalu dua, lalu tiga.

Plato mengatakan matematika ditemukan di dunia Idea. Kant mengatakan matematika dibangun di dalam pikiran. Tetapi tidak dibangun seenaknya. Pikiran punya aturan bawaan. Aturan itulah yang membuat matematika berlaku sama untuk semua orang.

Mengapa 2+2=4 berlaku untuk orang Indonesia dan orang Jepang dan orang Brazil? Karena semua manusia memiliki struktur pikiran yang sama. Struktur yang membentuk ruang, waktu, dan bilangan.

Kant menyebut jenis pengetahuan ini “sintetik a priori”. Kata “sintetik” berarti kita benar-benar mendapatkan informasi baru. Kata “a priori” berarti kita tidak perlu memeriksa dunia dulu untuk tahu. Kita tahu dari dalam pikiran.

Ini berbeda dengan pengetahuan biasa. Kalau saya ingin tahu apakah sedang hujan, saya harus lihat ke jendela. Tetapi kalau saya ingin tahu 7+5=12, saya tidak perlu memeriksa apa pun di dunia. Saya cukup menghitung di kepala.

Jawaban Kant sangat berbeda dari jawaban Plato. Tetapi ia juga berbeda dari jawaban Ibn Sina dan Hairi Yazdi. Di mana perbedaannya?

Ibn Sina dan Hairi Yazdi mengatakan bilangan hadir pada pikiran karena pikiran dan bilangan berasal dari sumber yang sama. Kant mengatakan bilangan terbentuk oleh pikiran. Pikiran adalah tukangnya. Bilangan adalah hasilnya.

Ada sesuatu yang hilang di jawaban Kant. Kalau bilangan hanya dibuat pikiran, mengapa bilangan tampak seperti menemukan kita? Mengapa matematika begitu pas dengan alam, sampai Galileo dan Einstein terpana?

Pertanyaan inilah yang akan dijawab Husserl.

Husserl: Bagaimana Objek Matematika Muncul di Kesadaran

Pada akhir abad sembilan belas, seorang matematikawan muda bernama Edmund Husserl (1859–1938) menulis disertasi di bidang kalkulus variasi. Ia kemudian menulis buku berjudul Filsafat Aritmatika. Ia ingin menjelaskan dari mana bilangan berasal.

Awalnya ia berpikir bilangan berasal dari pengalaman psikologis. Kita menghitung kelereng berkali-kali, lalu pikiran kita membentuk konsep bilangan. Tetapi Gottlob Frege, seorang logikawan besar, mengkritik Husserl habis-habisan. Jika bilangan berasal dari psikologi, mengapa 2+2=4 berlaku mutlak, tidak bergantung pada siapa yang menghitung?

Husserl mengakui kritik Frege. Ia lalu meninggalkan penjelasan psikologis. Ia mengembangkan metode baru yang ia sebut fenomenologi.

Fenomenologi adalah cara mengamati kesadaran dari dalam. Kita tidak bertanya “apakah bilangan ada di dunia luar?”. Kita bertanya “bagaimana bilangan muncul di kesadaran?”.

Husserl menemukan sesuatu yang menarik. Ketika saya memikirkan bilangan tiga, tiga itu muncul bukan sebagai gambar di kepala saya. Tiga itu muncul sebagai objek yang saya sadari. Objek itu bukan benda fisik. Tetapi ia juga tidak hanya perasaan saya. Ia adalah objek dari jenis yang berbeda. Objek ideal.

Husserl menyebut cara kesadaran menangkap objek ideal sebagai kategoriale Anschauung. Pandangan kategorial. Atau kita dapat menyebutnya “tatapan pikiran”. Mata melihat warna. Telinga mendengar suara. Pikiran menatap objek ideal seperti bilangan, bentuk geometri, dan hubungan logis.

Bayangkan Anda melihat tiga apel di atas meja. Anda melihat tiga buah. Tetapi Anda juga “melihat” tiga-nya. Tiga yang sama yang akan muncul ketika Anda melihat tiga kucing, tiga mobil, atau tiga hari. Bilangan itu hadir pada kesadaran Anda bersama apel, tetapi ia berbeda dari apel.

Inilah yang dekat dengan gagasan Ibn Sina. Bilangan hadir di dua tempat sekaligus. Pada apel di luar dan sebagai objek ideal di dalam kesadaran. Tidak ada jurang. Tidak ada jembatan yang harus dibangun.

Husserl, dengan cara yang sistematis dan ilmiah, membuat eksplisit apa yang sudah dirintis Ibn Sina sepuluh abad sebelumnya. Ia mendeskripsikan bagaimana objek matematika menampakkan diri pada kesadaran. Ia bahkan mempengaruhi Kurt Gödel secara langsung, seperti akan kita lihat.

Gödel: Matematika Menghancurkan Dirinya Sendiri

Pada tahun 1931, seorang anak muda berumur dua puluh lima tahun bernama Kurt Gödel (1906–1978) menerbitkan sebuah makalah. Makalah itu tipis. Tetapi ia mengguncang seluruh matematika.

Gödel membuktikan sesuatu yang mustahil. Dalam sistem matematika yang cukup kaya, selalu ada pernyataan yang benar tetapi tidak dapat dibuktikan. Teorema ini dikenal sebagai teorema ketidaklengkapan Gödel. Kita telah menyinggungnya di tulisan sebelumnya.

David Hilbert, matematikawan terbesar pada zamannya, ingin membangun matematika sebagai sistem tertutup yang sempurna. Semua kebenaran harus dapat dibuktikan dari aksioma. Gödel menghancurkan impian ini dengan satu pukulan logis.

Tetapi yang menarik tidak hanya teoremanya. Yang menarik adalah keyakinan pribadi Gödel tentang matematika.

Gödel adalah Platonis. Ia percaya bilangan itu nyata. Mereka ada di dunia yang tidak bergantung pada pikiran manusia. Kita tidak menciptakan bilangan. Kita menemukannya.

Bagaimana kita menemukannya? Gödel menjawab dengan kata yang mengejutkan: intuisi matematis. Kita memiliki semacam indera keenam untuk matematika. Bukan mata, bukan telinga. Tetapi indera yang menangkap objek matematika secara langsung.

Banyak kolega Gödel merasa ide ini terlalu mistis. Seorang logikawan besar abad kedua puluh berbicara tentang “indera keenam”? Tetapi Gödel bersikeras. Ia bahkan membaca fenomenologi Husserl di tahun-tahun terakhirnya, mencari rumusan filosofis yang tepat untuk intuisi matematisnya.

Di sinilah ikatan naratif kita mengencang. Intuisi Gödel sebenarnya sangat dekat dengan kategoriale Anschauung Husserl. Yang mana, pada gilirannya, sangat dekat dengan ilm huduri Hairi Yazdi. Yang, pada akhirnya, merupakan perkembangan dari wujud dzihni Ibn Sina.

Gödel, tanpa pernah membaca Ibn Sina atau Hairi Yazdi, sampai pada posisi yang mirip. Matematika bukan ciptaan pikiran, seperti kata Kant. Tetapi juga tidak melayang di dunia lain seperti kata Plato. Matematika hadir pada kesadaran yang memiliki struktur tepat untuk menangkapnya.

Pikiran manusia dirancang untuk menyentuh bilangan. Dan bilangan terbuka untuk disentuh. (Bersambung)