Principia Mathematica: Buku Terumit di Dunia, Hanya untuk Menjawab "1 + 1 = 2"
Tulisan dari Slamet Supriyadi tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarBayangkan tiga jilid buku. Tebalnya ribuan halaman. Isinya penuh simbol-simbol aneh yang lebih mirip kode rahasia daripada bahasa manusia. Hampir tidak ada orang yang sanggup membacanya sampai habis — bahkan para matematikawan sekalipun.
Buku itu berjudul Principia Mathematica, ditulis oleh dua filsuf besar Inggris: Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell, diterbitkan antara tahun 1910 dan 1913.
Tapi ada satu hal yang membuat buku ini begitu menggelitik. Di halaman 379 Volume I, muncul kalimat legendaris:
"From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been defined, that 1 + 1 = 2."
Ya. Setelah ratusan halaman penuh logika yang membuat kepala berputar, penulisnya baru sampai pada titik di mana mereka bisa berkata: "Jadi 1 + 1 = 2."
Kita sudah tahu 1 + 1 = 2 sejak TK. Tapi ternyata ada manusia yang merasa perlu menghabiskan sepuluh tahun hidupnya untuk membuktikan hal yang kita anggap remeh.
Pertanyaan Remeh Tidak Bisa Dijawab Sembarangan
Bayangkan anak kecil bertanya: "Bu, kenapa 1 + 1 = 2?". Jawaban kita biasanya: "Ya sudah begitu, Nak. Pokoknya begitu." Atau mungkin: "Karena 1 pensil ditambah 1 pensil jadi 2 pensil."
Jawaban kedua itu sebenarnya tidak menjawab pertanyaan. Anak itu bertanya soal bilangan, bukan soal pensil. Dan bilangan itu bukan benda. Ia tidak bisa dilihat, disentuh, atau ditimbang. Ia hanya ada... di kepala kita.
Nah, di sinilah masalahnya mulai muncul.
Kalau bilangan itu tidak nyata secara fisik, dari mana asalnya? Apakah bilangan "ada" di suatu tempat? Apakah ia ditemukan seperti orang menemukan benua baru? Atau ia diciptakan seperti orang menciptakan bahasa?
Dan yang lebih mengganggu: kalau 1 + 1 = 2 adalah kebenaran, dari mana kebenaran itu berasal? Apakah ia berlaku di seluruh alam semesta? Apakah alien di galaksi lain juga tahu bahwa 1 + 1 = 2? Atau ini cuma kesepakatan manusia?
Pertanyaan-pertanyaan ini terdengar seperti bahan diskusi anak SMA yang sedang sok filosofis. Tapi justru inilah yang membuat Whitehead dan Russell menghabiskan lebih dari sepuluh tahun untuk menulis Principia Mathematica.
Mereka tidak puas dengan jawaban "pokoknya begitu".
Ketika "Yang Sudah Jelas" Runtuh
Ada satu kebiasaan buruk manusia: kita menganggap hal-hal yang "sudah jelas" tidak perlu dipersoalkan.
Orang dulu menganggap bumi itu datar — "jelas sekali". Ternyata salah. Orang dulu menganggap benda berat jatuh lebih cepat dari benda ringan, serta ruang dan waktu itu mutlak. Keduanya ternyata salah.
Pola yang sama terjadi dalam matematika. Pada akhir abad ke-19, matematika mengalami apa yang disebut krisis fondasi. Semuanya dimulai ketika Bertrand Russell menemukan sebuah paradoks yang mengguncang seluruh bangunan matematika.
Paradoksnya begini:
Misalkan ada himpunan yang berisi "semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri". Apakah himpunan itu memuat dirinya sendiri?
Kalau ya, berarti ia tidak memuat dirinya sendiri. Kalau tidak, berarti ia memuat dirinya sendiri. Kontradiksi.
Paradoks ini terdengar seperti teka-teki logika yang tidak ada hubungannya dengan hidup kita. Tapi dampaknya luar biasa. Gottlob Frege, seorang matematikawan Jerman yang sedang menyelesaikan karya besarnya tentang fondasi aritmetika, menerima surat dari Russell tepat ketika bukunya sedang naik cetak.
Ia menambahkan catatan di akhir bukunya: "Seorang ilmuwan tidak bisa menghadapi sesuatu yang lebih tidak menyenangkan daripada melihat fondasi bangunannya runtuh tepat ketika pekerjaan itu hampir selesai."
Bayangkan perasaan Frege. Bertahun-tahun kerja keras, dan tiba-tiba ada orang yang menunjukkan bahwa fondasinya retak.
Logisisme: Mimpi Besar Whitehead dan Russell
Di tengah krisis ini, Whitehead dan Russell mengajukan solusi radikal. Mereka berkata:
"Bagaimana kalau kita bangun ulang seluruh matematika dari nol? Dari logika murni saja? Tanpa mengasumsikan apa pun?"
Ini disebut logisisme. Tesisnya sederhana: matematika adalah cabang dari logika. Semua konsep matematika — bilangan, operasi, fungsi — bisa didefinisikan dalam bahasa logika. Semua teorema matematika bisa diturunkan dari aksioma logika.
Kedengarannya mulia. Tapi ada satu masalah: untuk melakukan ini, mereka harus mendefinisikan segalanya dari awal.
Termasuk bilangan.
Bilangan Bukan Benda, Tapi "Kelas dari Kelas"
Ini bagian yang paling membuat kepala berputar.
Menurut Whitehead dan Russell, bilangan itu bukan benda. Bilangan itu sifat dari himpunan. Kita pahami perlahan-lahan:
Bilangan 0 bukanlah "tidak ada". Bilangan 0 adalah kelas dari semua himpunan kosong.
Bilangan 1 bukanlah "satu benda". Bilangan 1 adalah kelas dari semua himpunan yang punya tepat satu anggota.
Bilangan 2 bukanlah "dua benda". Bilangan 2 adalah kelas dari semua himpunan yang punya tepat dua anggota.
Jadi, ketika seseorang berkata "ada satu apel di meja", yang sebenarnya ia maksud adalah: himpunan apel di meja itu termasuk dalam kelas "1".
Bilangan bukanlah sifat apel. Bilangan adalah sifat himpunan apel.
Kenapa harus serumit ini? Karena dengan cara ini, Bilangan tidak "diasumsikan" begitu saja. Bilangan diturunkan dari logika murni. Tidak ada yang "pokoknya begitu".
Pembuktian 1 + 1 = 2 yang Bikin Pusing
Dengan definisi di atas, pembuktian 1 + 1 = 2 menjadi mungkin. Secara singkat:
Ambil dua himpunan lepas (tidak punya irisan), masing-masing beranggota satu. Misalnya: A = {x} dan B = {y}, dengan x ≠ y.
Gabungkan keduanya: A ∪ B = {x, y}.
Himpunan gabungan ini punya tepat dua anggota.
Menurut definisi penjumlahan: 1 + 1 = jumlah anggota gabungan = 2.
Selesai. 1 + 1 = 2.
Kedengarannya mudah, bukan? Tapi ingat: setiap langkah di atas harus diturunkan dari aksioma logika dengan notasi formal yang ketat. Tidak ada yang boleh diasumsikan. Tidak ada yang boleh "sudah jelas begitu saja".
Itulah sebabnya butuh 379 halaman.
Yang Sering Disalahpahami
Banyak orang mengira bahwa Whitehead dan Russell menghabiskan 379 halaman hanya untuk membuktikan 1 + 1 = 2. Itu tidak benar.
379 halaman itu bukan hanya untuk 1 + 1 = 2. Halaman-halaman itu membangun seluruh fondasi logika, teori himpunan, teori relasi, dan definisi bilangan. 1 + 1 = 2 hanyalah salah satu konsekuensi kecil dari fondasi raksasa itu.
Ibaratnya: untuk bisa mengatakan "dua apel lebih banyak dari satu apel", kamu harus lebih dulu mendefinisikan apa itu "apel", apa itu "satu", apa itu "dua", apa itu "lebih banyak", dan membuktikan bahwa semua definisi itu konsisten.
Principia melakukan itu — tapi untuk seluruh matematika, bukan hanya apel.