Cara Mencari Himpunan Penyelesaian Lengkap dengan Contoh Soalnya

Ilustrasi himpunan penyelesaian Foto: Unsplash

Dalam ilmu Matematika, himpunan penyelesaian termasuk dalam materi persamaan dan pertidaksamaan linear. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan kurung kurawal dan diberi nama dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, dan seterusnya.

Mengutip Jurnal Himpunan dan Sistem Bilangan yang ditulis oleh Dr. Wahyu Hidayat, himpunan menjadi landasan dari berbagai konsep Matematika, misalnya relasi dan fungsi. Untuk memahami lebih jelas, simak pembahasan di bawah ini.

Pengertian Himpunan

Ilustrasi soal matematika. Foto: Unsplash

Secara umum, himpunan adalah daftar kumpulan benda atau unsur yang memiliki sifat-sifat tertentu. Benda yang dimaksud bisa berupa bilangan, nama kota, huruf, nama orang, dan lain sebagainya.

Dikutip dari Get Success UN Matematika oleh Slamet Riyadi (2008: 66), benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau unsur dari suatu himpunan.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, notasi pembentuk himpunan, dan mendaftar anggota-anggotanya. Contohnya:

Cara Menghitung Himpunan Penyelesaian dan Contoh Soalnya

Ilustrasi mengerjakan soal matematika. Foto: Unsplash

Menurut Khoe Yao Tung dalam buku berjudul Kumpulan Rumus Lengkap Matematika SMP/MTs, himpunan penyelesaian adalah himpunan jawaban dari semua bilangan yang membuat kalimat Matematika menjadi benar.

Himpunan penyelesaian biasanya dapat ditemukan pada soal matematika yang membahas Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV), Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV), dan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PTLSV). Berikut penjelasannya:

1. Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

Persamaan linier satu variabel adalah suatu kalimat matematika yang memuat satu variabel berpangkat satu dan dihubungkan oleh tanda sama dengan. Contoh:

2. Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang mewakili dua variabel dan berpangkat satu. Bentuk umum:

ax + by = c

Keterangan:

3. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PTLSV)

Pertidaksamaan linier satu variabel adalah suatu kalimat matematika yang memuat satu variabel berpangkat satu dan dihubungkan oleh tanda "<, <, >, ". Contoh:

Adapun beberapa contoh soal matematika himpunan penyelesaian sederhana adalah sebagai berikut:

1. Apabila terdapat -4 ≤ x ≤ 4; dengan x merupakan bilangan bulat. Maka himpunan penyelesaiannya adalah:

x = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

2. x + y = 6; x dan y merupakan bilangan cacah. Maka himpunan penyelesaiannya adalah:

Himpunan Penyelesaian.

(x, y) = { 0,6); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1), (6,0)}

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2-3x+5<0!

Pembahasan:

x² - 3x + 5 < 0, dengan a = 1, b = -3, dan c = 5

D= b² - 4ac = (-3)² - 4.1.5 = -11

Karena D = -1 <0, maka bentuk kuadratnya positif untuk setiap x € R (definit positif), sehingga tidak ada x € R yang memenuhi pertidaksamaan itu. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah Ø.

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x²+x+3≤0!

2x² + x + 3 ≤ 0, dengan a = 2, b = 1 dan c = 3

D = b² - 4ac = (1)² - 4.2.3 = -23

Karena D = -23 < 0, maka bentuk kuadratnya positif untuk setiap x = R (definit positif), sehingga tidak ada x € R yang memenuhi pertidaksamaan itu. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah Ø.

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 4| > 6

Pembahasan:

|2x - 4| > 6 = 2x - 4 > 6 atau 2x - 4 < -6 (sifat 2)

= 2x > 10 atau 2x < -2

= x > 5 atau x < -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x > 5 atau x < -1.

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Ilustrasi soal matematika. Foto: Unsplash

Mengutip buku Top Fokus Ulangan & Ujian SMP karangan Tim Maestro Eduka (2020), sistem persamaan linier dua variabel bisa diselesaikan dengan beberapa cara, di antaranya:

1. Metode Subsitusi

Himpunan penyelesaian bisa dihitung dengan menyatakan dua variabel dalam variabel lain, kemudian mensubstitusikan (mengganti) variabel tersebut dalam persamaan lainnya. Contoh:

x + y = 4...(1)

x + 2y = 6...(2)

Pada persamaan (1) dapat dibuat persamaan x = 4 - y...(3)

Substitusikan (3) ke (2) sehingga 4 - y + 2 y = 6 menjadi y = 6 - 4 = 2

Pada persamaan (1) dapat dibuat persamaan y = 4 - x ...(3).

Substitusikan (3) ke (2) sehingga:

x + 2 (4 - x) =6

x + 8 - 2x = 6

-x = 6 - 8 = -2

x = 2

Jadi, diperoleh penyelesaian (x,y) = (2,2)

2. Metode Eliminasi

Himpunan penyelesaian bisa didapat dengan mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel dari sistem persamaan.

Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x Anda harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, begitu juga dengan sebaliknya. Berikut contohnya:

x + y = 4...(1)

x + 2y = 6...(2)

Eliminasi variabel x di kedua persamaan

x + y = 4

x + 2y = 6

- y = -2

y = 2

Eliminasi variabel y di kedua persamaan.

x + y = 4 |x2| 2x + 2y = 8

x + 2y = 6 |x1| x + 2y = 6

x = 2

Sehingga diperoleh penyelesaian (x,y) = (2,2).

3. Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi

Metode ini adalah gabungan metode eliminasi dan substitusi. Cara menerapkan metode ini, yakni mengeliminasi salah satu variabel hingga diperoleh nilai variabel lain. Kemudian, substitusikan nilai variabel yang sudah diketahui dalam persamaan lainnya.

Contoh:

x + y = 4...(1)

x + 2y = 6...(2)

Eliminasi variabel x di kedua persamaan

x + y = 4.

x + 2y = 6

- y = -2

y = 2

substitusikan hasil ke salah satu persamaan, misal pers (1)

x + y = 4

x + 2 = 4

x = 4 - 2 =2

Sehingga didapatkan penyelesaian (x,y) = (2,2).

4. Metode Grafik

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Apabila garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Contoh:

x + y = 4...(1)

x + 2y = 6...(2)

Berikut koordinat kartesiusnya:

Himpunan Penyelesaian

Gambar di atas menunjukkan bahwa (x,y) adalah perpotongan kedua persamaan, yakni (2,2).

Baca Juga: Pengertian dan Contoh Soal Himpunan Semesta

Rumus Luas Lingkaran: Cara Menghitung dan Contoh Soal

Ilustrasi mengerjakan soal matematika. Foto: Unsplash

Dikutip dari Kitab Rumus Super Lengkap Matematika SMP 7, 8, 9 oleh Tim Matematika Edu Center, luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Suatu lingkaran dapat dihitung luasnya dengan menggunakan rumus luas lingkaran sebagai berikut.

L = π r² atau L = 1/4 π d²

Keterangan:

L = luas lingkaran

π = 3,14 atau 22/7

r = jari-jari lingkaran

d = diameter

Ada pula rumus untuk menghitung luas bagian-bagian lingkaran yang sudutnya tidak penuh 360 derajat, seperti:

Untuk memahami lebih jelas, berikut beberapa contoh soal untuk menghitung luas lingkaran:

Contoh Soal 1

Sebuah tutup panci berbentuk lingkaran memiliki panjang diameter 28 cm, berapa luas dari tutup panci tersebut?

Pembahasan:

L = 1/4 x π x d²

L = 1/4 x 22/7 x 28 x 28

= 22 x 7 x 4

= 616 cm²

Jadi, luas tutup panci tersebut adalah 616 cm².

Contoh Soal 2

Berapa luas lingkaran dengan diameter 7 cm?

Pembahasan:

L = 1/4 x π x d²

L = 1/4 x 22/7 x 7 x 7

L = 11/2 x 7

L = 77/2

L = 38,5 cm²

Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 38,5 cm².

Contoh Soal 3

Berapa luas lingkaran yang diameternya 42 cm?

Pembahasan:

L = 1/4 x 22/7 x 42 x 42

L = 11/2 x 6 x 42

L = 11/2 x 252

L = 1.386 cm²

Jadi luas lingkaran yang diameternya 42 cm adalah 1.386 cm².

Contoh Soal 4

Berapa luas lingkaran jika memiliki jari-jari 15 cm?

Pembahasan:

L = π r²

L = 3,14 x 15²

L = 3,14 x 15 x 15

L = 3,14 x 325

L = 706,5 cm²

Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 706,5 cm².

Rumus Suku ke-n Bilangan Aritmatika dan Geometri beserta Contoh Soal

Ilustrasi mengerjakan soal bilangan aritmatika dan geometri. Foto: Pexels

Bilangan aritmatika dan geometri merupakan jenis-jenis pola bilangan dalam matematika. Dikutip dari Explore Matematika Jilid 2 untuk SMP/MTs Kelas VIII oleh Agus Supriyanto, dkk., berikut penjelasan mengenai pola bilangan aritmatika dan geometri.

1. Pola Bilangan Aritmatika

Pola bilangan aritmatika adalah pola bilangan dengan urutan bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama. Berikut bentuk pola bilangan aritmatika dan rumusnya:

Untuk memahami lebih jelas, berikut contoh soalnya:

Diketahui terdapat suatu pola aritmatika 7, 5, 3, 1, … Berapakah suku ke-40 dari pola bilangan tersebut?

Pembahasan:

Diketahui: a = 7, b = -2, n = 40

Ditanya: U40

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U40 = 7 + (40 - 1) (-2)

= 7 + 39 x (-2)

= 7 + (-78) = -71

Jadi, suku ke-40 dari pola bilangan aritmatika di atas adalah -71.

2. Pola pada Bilangan Geometri

Pola bilangan geometri adalah suatu bilangan yang merupakan hasil perkalian bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap. Berikut bentuk pola bilangan geometri dan rumusnya:

Untuk memahami lebih jelas, berikut contoh soalnya:

Diketahui terdapat suatu pola geometri 2, 8, 32, ... Berapakah suku ke-5 dari pola tersebut?

Pembahasan:

Diketahui: a = 2, r = 8/2 = 4, n = 5

Ditanya: U5

Jawaban:

Un = ar^(n - 1)

U5 = 2.4^(n - 1)

U5 = 2.4^(5 - 1)

U5 = 2.4^4

U5 = 2.256

U5 = 512

Jadi, suku ke-5 dari pola bilangan geometri di atas adalah 512.

(GTT & SFR)