Rumus Invers Matriks dan Contoh Soalnya

Ilustrasi matematika. Foto: Freepik

Dalam pelajaran matematika, untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variable (SPLTV) dapat menggunakan metode derminan dan invers matriks.

Sebelum mencari invers suatu matriks harus menentukan determinannya terlebih dahulu. Determinan merupakan nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi.

Invers sendiri dapat diartikan sebagai lawan dari sesuatu (kebalikan). Jika suatu matriks memiliki invers, dapat dikatakan matriks tersebut adalah matriks nonsingular. Sebaliknya, jika suatu matriks tidak memiliki invers, maka matriks tersebut merupakan matriks singular.

Artikel ini akan membahas lebih lanjut mengenai matriks invers, mulai dari pengertian, rumus, hingga contoh soalnya yang bisa dipahami.

Pengertian Matriks Invers

Ilustrasi mempelajari soal matriks invers. Foto: Pexels

Invers matriks atau matriks invers adalah sebuah kebalikan (invers) dari kedua matriks. Apabila matriks tersebut dikalikan akan menghasilkan matriks persegi (AB = BA = |).

Simbol dari invers matriks adalah pangkat -1 dan terletak di atas hurufnya. Sebagai contoh, matriks B adalah invers matriks A sehingga ditulis B = A–1 dan matriks A adalah invers dari matriks B ditulis A = B-1. Matriks A dan B merupakan dua matriks yang saling invers (berkebalikan).

Invers matriks terdiri dari dua jenis, yaitu matriks persegi (2×2) dan matriks 3×3. Untuk lebih memahaminya, berikut penjelasan mengenai rumus invers matriks dalam ordo 2x2 maupun 3x3.

Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2x2

Ilustrasi matematika. Foto: Freepik

Berikut rumus invers matriks yang digunakan untuk matriks berordo 2x2 seperti dikutip dari Cepat Tuntas Kuasai Matematika karangan HJ Sriyanto (2009: 100).

Rumus Invers Matriks. Foto: Cepat Tuntas Kuasai Matematika

Invers matriks berordo 2 dapat langsung diperoleh dengan cara:

Rumus Invers Matriks Berordo 3x3

Ilustrasi mengerjakan soal matematika. Foto: Pexels

Mencari invers matriks berordo 3x3 dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan adjoin dan transformasi baris elementer.

Adjoin matriks merupakan transpose dari suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari elemen-elemen matriks tersebut. Lalu, rumus invers matriks berordo 3x3 menjadi:

Jurnal Invers Matriks. Foto: PDF Ishaq Gunadarma

Dalam menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer bisa menggunakan langkah-langkah berikut ini:

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer di antaranya:

Contoh Soal Invers Matriks

Ilustrasi mengerjakan soal matematika. Foto: Pexels

Berikut adalah beberapa contoh soal matematika untuk invers matriks dan penjelasannya.

1. Contoh Soal Invers Matriks Berordo 2x2

Invers Matriks Ordo 2x2. Foto: Cepat Tuntas Kuasai Matematika

2. Contoh Soal Invers Matriks Berordo 3x3

Invers Matriks Ordo 3x3. Foto: Pasti Bisa Matematika untuk SMA/MA Kelas XI

Pengertian dan Jenis-Jenis Matriks

Ilustrasi pelajaran matematika. Foto: Pexels

Matriks adalah suatu susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Susunan ini diletakkan dalam sepasang kurus biasa () atau sepasang kurung siku [].

Baris adalah susunan bilangan-bilangan secara mendatar (horizontal), sedangkan kolom adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal).

Secara umum, matriks dinyatakan dalam bentuk m x n, di mana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom. Bilangan yang disusun dalam baris dan kolom tersebut dinamakan elemen-elemen penyusun matriks.

Matriks terbagi menjadi beberapa jenis. Dikutip dari Think Smart Matematika oleh Gina Indriani (2007: 41-42), adapun jenis-jenis matriks dapat dikelompokkan sebagai berikut.

1. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks di mana semua elemen penyusunnya adalah bilangan nol. Matriks nol biasanya dilambangkan dengan 0 atau O dan dinyatakan dalam bentuk m x n.

2. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang elemen penyusunnya hanya terdiri atas satu baris. Matriks ini memiliki ordo 1 x n, di mana n adalah jumlah kolom.

3. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang elemen penyusunnya hanya memiliki satu kolom. Matriks ini memiliki ordo m x 1, di mana m adalah jumlah baris.

4. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris yang sama dengan jumlah kolom. Matriks persegi memiliki ordo n x n, di mana n adalah jumlah baris dan kolom.

5. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi di mana semua elemennya di luar diagonal utama adalah nol. Diagonal utama adalah garis yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.

6. Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi di mana semua elemen di bawah diagonal utama adalah nol.

7. Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi di mana semua elemen di atas diagonal utama adalah nol.

8. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi di mana elemen pada diagonal utama adalah satu, sedangkan elemen lainnya adalah nol.

Matriks identitas biasanya dilambangkan dengan simbol I atau dengan notasi "I(n)" untuk menunjukkan matriks identitas berordo n x n.

9. Matriks Skalar

Matriks skalar adalah matriks yang memiliki seluruh elemen yang sama pada diagonal utamanya dan elemen selain diagonal utamanya adalah nol.

Jenis-Jenis Vektor Matematika

Ilustrasi mengerjakan soal vektor matematika. Foto: Pexels

Secara umum, vektor adalah ruas garis terarah yang panjang dan arahnya tertentu. Vektor digambarkan dengan garis anak panah.

Sebagai contoh, ada suatu garis yang dibentuk dari titik A dan titik B. Panjang panjang garis dari A ke B tersebut adalah besar nilai vektor, sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor.

Vektor memiliki beberapa jenis yang sering digunakan dalam matematika. Dikutip dari Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII oleh Johanes, dkk., (2007: 129-130), berikut adalah jenis-jenis vektor yang umum ditemui.

1. Vektor Nol

Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya sama dengan nol dan arahnya sembarang. Semua elemen pada vektor ini bernilai nol.

2. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah suatu vektor yang menggambarkan posisi sebuah titik. Vektor posisi mempunyai titik pangkal di pusat koordinat O(0,0).

3. Vektor Basis

Vektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat. Vektor basis mempunyai satuan yang saling tegak lurus.

4. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor tanpa dimensi yang besarnya satu satuan. Karena tidak berdimensi, vektor satuan digunakan untuk menunjukkan arah saja.

Baca Juga: Contoh Soal Matriks dalam Pelajaran Matematika Tingkat SMA Sederajat

Operasi Matriks

Ilustrasi operasi matematika. Foto: Pexels

Dalam matematika, terdapat beberapa operasi hitung yang bisa dilakukan pada matriks untuk menghasilkan matriks baru atau mengubah matriks yang ada. Berikut adalah beberapa operasi matriks yang umum digunakan.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dilakukan antara dua matriks (misalnya matriks A dan matriks B) yang memiliki ukuran yang sama.

Penjumlahan dua matriks A dan matriks B adalah menjumlahkan elemen-elemen penyusun matriks yang seletak dari matriks A dan matriks B.

Sementara itu, pengurangan dua matriks A dan B adalah mengurangkan elemen-elemen penyusun matriks yang seletak dari matriks A dan matriks B.

Perkalian Skalar pada Matriks

Perkalian skalar pada matriks melibatkan perkalian setiap elemen dalam matriks dengan suatu bilangan. Setiap elemen dalam matriks akan dikalikan dengan bilangan tersebut.

Sebagai contoh, jika k adalah sembarang bilangan real, maka perkalian suatu matriks A dengan k adalah kA, yaitu matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen penyusun matriks A dengan k.

Perkalian Dua Matriks

Perkalian dua matriks dilakukan ketika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Dalam perkalian matriks, elemen-elemen pada baris pertama matriks pertama dikalikan dengan elemen-elemen dalam kolom pertama matriks kedua, kemudian hasilnya dijumlahkan.

Sebagai contoh, matriks A berordo m x n dan matriks B berordo n x p, maka perkalian matriks A dan B, yaitu AB memiliki ordo m x p.

Transpose Matriks

Operasi transpose pada matriks dilakukan dengan mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Elemen-elemen yang semula berada pada posisi (A, B) akan berada pada posisi (B, A) setelah dilakukan transpose matriks.

Sebagai contoh, jika elemen-elemen penyusun matriks pada baris matriks A diletakkan pada kolom matriks A dan elemen penyusun kolom matriks A diletakkan pada baris matriks A, maka akan diperoleh transpose matriks A.

(VIO & SFR)