4 Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 beserta Jawabannya

Ilustrasi Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 beserta jawabannya, sumber: unsplash/EdUs

Contoh soal induksi matematika kelas 11 adalah kumpulan soal yang perlu dipelajari oleh para siswa. Induksi matematika merupakan cara atau metode untuk membuktikan secara absah tentang pernyataan matematika yang benar atau salah.

Materi ini mempelajari tentang metode penalaran yang bersifat deduktif dan umumnya digunakan untuk melakukan pembuktian secara universal tentang suatu pernyataan matematik. Misalnya, seperti kombinatorika, teori graf, atau teori bilangan.

Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 beserta Jawabannya

Ilustrasi Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 beserta jawabannya, sumber: unsplash/ChivalryCreative

Mengutip buku Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 oleh Kuntarti, dkk (2006), induksi adalah salah satu upaya pembuktian teorema umum atau rumus dalam matematika. Adapun contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya yakni sebagai berikut:

1. Tulislah dengan notasi sigma 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7!

Jawaban:

= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7= (1 + 2) + (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) + (5 + 1) + (6 + 1) = 6 Σ (n + 1) n = 1

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n². Untuk n bilangan asli.

Jawaban:

Misalkan P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = 2²

Langkah 1

P(n) = 2n – 1 = n^2

Langkah 2:

Dibuktikan implikasi P(k) benar -> P(k+ 1) benar P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k -1) k^2

Untuk P(k + 1) berlaku:

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1)

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2 – 1)

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1 – 1) = K^2 + (2k + 1)

Jadi, bisa disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n bilangan asli.

3. Buktikan untuk setiap n bilangan positif berlaku 1 + 2 + 3 +…+ n = 1/2 n(n + 1)

Jawaban:

Misalkan p(n) = 1 + 2 + 3 + …. + n = 1/2 n(n + 1)

Ikuti rumus induksi matematika berikut.

P(n) benar untuk n = 1, karena p(1) adalah 1 = 1/2 1(1 + 1) = 1, maka p(1) benar.

Diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k.

Jadi, pernyataan 1 + 2 + 3 + …. + k = 1/2k (k+1) bernilai benar.

4. Buktikan jika 32n + 22n + 2 dan habis dibagi 5.

Terapkan tahap-tahap berikut ini:

Langkah Pertama:

32(1) + 22(1) + 2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25.

Langkah Kedua Memakai 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k + 1) + 22(2k + 2)

= 32k + 2 + 22k + 2 + 2

= 32(32k) + 22(22k + 2)

= 10(32k) + 5(22k + 2) – 32k – 22k + 2

= 10 (32k) + 5 (22k + 2) – (32k + 22k+2)

Jadi pernyataan matematika tersebut benar-benar habis dibagi 5.

Baca juga: 5 Contoh Soal Turunan Kelas 11 beserta Jawabannya

Contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta Jawabannya yang disebutkan di atas bisa dijadikan sebagai acuan untuk belajar di rumah. Semakin banyak soal yang dikerjakan untuk latihan, maka pemahaman siswa tentang materi ini akan semakin meningkat. (DLA)