Aturan Rantai Turunan Fungsi dan Contohnya dalam Trigonometri

Ilustrasi aturan rantai turunan fungsi - Sumber: pixabay.com/pixzito

Aturan rantai turunan fungsi sering menjadi kunci dalam menyelesaikan masalah turunan pada fungsi yang lebih kompleks. Dalam kalkulus, banyak fungsi tidak berdiri sendiri, melainkan merupakan hasil komposisi dari beberapa fungsi lain.

Oleh karena itu, pemahaman tentang aturan rantai sangat diperlukan untuk menentukan turunannya dengan lebih efisien dan akurat.

Aturan Rantai Turunan Fungsi

Ilustrasi aturan rantai turunan fungsi - Sumber: pixabay.com/lum3n

Dalam matematika, aturan rantai digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi yang merupakan hasil komposisi dua atau lebih fungsi. Biasanya, fungsi yang diturunkan menggunakan aturan ini berbentuk pangkat dari fungsi aljabar.

Berdasarkan Buku Ajar Matematika Dasar, E. Ratna Setyawati Gunawan, dkk, (2025), aturan rantai (Chain Rule) adalah metode dalam kalkulus untuk menghitung turunan dari fungsi yang merupakan komposisi dua atau lebih fungsi.

Pada matematika atau trigonometri, aturan perkalian dapat digunakan untuk menentukan turunan fungsi dengan mudah. Akan tetapi, jika ternyata pangkat fungsi lebih besar, mencari turunannya menggunakan aturan perkalian akan menjadi lebih sulit.

Untuk mengatasi hal ini, fungsi perlu dinyatakan dalam bentuk komposisi sebelum mencari turunannya. Turunan tersebut kemudian dapat ditentukan menggunakan aturan rantai, yang memiliki aturan umum sebagai berikut.

Jika suatu fungsi 𝑦 bergantung pada u, dan u bergantung pada 𝑥, maka turunan dari 𝑦 terhadap 𝑥 dapat ditemukan menggunakan aturan rantai. Dari situ, berlakulah:

dy/dx = dy/du, du/dx atau df/dx = df/du, du/dx

Aturan rantai turunan fungsi menyatakan bahwa jika terdapat fungsi 𝑦 = f(g(𝑥)), dengan f adalah fungsi dari g(𝑥), dan g adalah fungsi dari 𝑥, maka turunan dari 𝑦 terhadap 𝑥 dapat ditulis sebagai:

d𝑦/d𝑥 = f'(g(𝑥)). g'(𝑥)

Artinya, pertama-tama mencari turunan dari fungsi luar f terhadap fungsi dalam g(𝑥), kemudian mengalikannya dengan turunan dari fungsi dalam g(𝑥) terhadap 𝑥.

Contoh Soal Aturan Rantai dan Pembahasannya

Ilustrasi aturan rantai turunan fungsi - Sumber: pixabay.com/sandid

Berikut adalah contoh soal aturan rantai untuk turunan fungsi beserta pembahasannya.

1. Turunan pertama fungsi f(x) = (5x – 3)3 adalah…

A. f'(x) = 3 (5x – 3)2

B. f'(x) = 5 (5x – 3)2

C. f'(x) = 8 (5x – 3)2

D. f'(x) = 15 (5x – 3)2

E. f'(x) = 45 (5x – 3)2

Pembahasan soal:

Misalkan U = 5x – 3

U’ = 5

f(U) = U3

f'(U) = 3U3 – 1 = 3U2

f'(x) = f'(U) . U’ = 3U2 . 5

f'(x) = 15 (5x – 3)2

Maka, jawaban yang tepat adalah D. f'(x) = 15 (5x – 3)2

2. Turunan dari f(x) = 5 (x2 + 2x – 1)3 adalah …

A. 15 (2x + 2)2

B. 15 (x2 + 2x – 1)2

C. 10 (x + 1) (x2 + 2x – 1)2

D. 30 (x + 1) (x2 + 2x – 1)2

E. 15 (2x + 2)2 (x2 + 2x – 1)2

Pembahasan soal:

Misal U = x2 + 2x – 1

U’ = 2x + 2

f(U) = 5U3

f'(U) = 15U2

f'(x) = f'(U) . U’

f'(x) = 15U2 . (2x + 2)

f'(x) = 15 (x2 + 2x – 1)2 . (2x + 2)

f'(x) = 30 (x + 1) (x2 + 2x – 1)2

Jawaban yang tepat untuk soal tersebut adalah D. 30 (x + 1) (x2 + 2x – 1)2.

Baca Juga: Rumus Turunan Fungsi beserta Contoh Soal dan Kunci Jawabannya

Jika hanya menggunakan aturan dasar turunan, perhitungan tersebut bisa menjadi rumit dan memakan waktu. Oleh karena itu, aturan rantai turunan fungsi menjadi solusi dalam menyelesaikan turunan fungsi yang kompleks, terutama dalam fungsi aljabar, trigonometri, maupun eksponensial. (DNR)