Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam pada Matematika

Ilustrasi Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam. Sumber: www.pixabay.com

Salah satu bangun datar yang cukup familiar dalam perhitungan matematika adalah lingkaran. Dalam lingkaran, terdapat beberapa rumus yang harus dipahami. Salah satu rumus tersebut adalah materi garis singgung. Contoh soal garis singgung persekutuan dalam akan membantu siswa untuk memahami konsep lingkaran dalam matematika.

Sebagai awal lingkaran adalah kumpulan titik-titik pada garis bidang datar yang semuanya berjarak sama dari titik tertentu. Titik tertentu ini disebut pusat lingkaran. Dalam geometri bidang Euclidean, garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat pada satu titik, tidak pernah memasuki bagian dalam lingkaran. Garis singgung lingkaran membentuk subjek dari beberapa teorema, dan memainkan peran penting dalam banyak konstruksi dan pembuktian geometris.

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran

Ilustrasi Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam. Sumber: www.pixabay.com

Mengutip dari "Matematika SMP/MTs Kls VIII (Revisi)", R Susanto Dwi (2014), dijelaskan bahwa garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Simak beberapa contoh soal berikut ini agar kamu lebih mudah memahaminya.

1. Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm.

Penyelesaian:

Diketahui:

p = 30 cm

R = 14 cm

r = 4 cm

Ditanyakan: d = ?

Jawab:

Rumus :

d = √(p2 – (R + r)2)

d = √(302 – (14 + 4)2)

d = √(302 –182)

d = √(900 – 324)

d = √576

d = 24

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm

2. Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jika jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm, maka hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

Pembahasan:

Jari-jari lingkaran pertama (R) = 12 cm

Jari-jari lingkaran kedua (r) = 5 cm

Jarak kedua pusat lingkaran (k) = 24 cm

Panjang garis singgung persekutuan dalam (d):

d = √(k² - (R + r)²)

d = √(24² - (12 + 5)²)

d = √(576 - (17)²)

d = √(576 - 289)

d = √287

d = 16,94

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam (d) kedua lingkaran tersebut adalah 16,94 cm.

3. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 5 cm dan 3 cm. Jika jarak kedua pusatnya 10 cm, maka tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

Pembahasan:

Jari-jari lingkaran pertama (R) = 5 cm

Jari-jari lingkaran kedua (r) = 3 cm

Jarak kedua pusat lingkaran (k) = 10 cm

Panjang garis singgung persekutuan dalam (d):

d = √(k² - (R + r)²)

d = √(10² - (5 + 3)²)

d = √(100 - (8)²)

d = √(100 - 64)

d = √36

d = 6

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam (d) kedua lingkaran tersebut adalah 6 cm.

4. Diberikan dua lingkaran dengan persamaan (x-3)² + y² = 4 dan (x+1)² + y² = 9. Tentukan persamaan garis singgung persekutuan kedua lingkaran!

Pembahasan:

Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah menentukan titik potong kedua lingkaran. Titik potong kedua lingkaran dapat ditemukan dengan menghilangkan y dari kedua persamaan dan menyelesaikan persamaan untuk x.

(x-3)² + y² = 4

x² – 6x + 9 + y² = 4

x² – 6x + 5 = 0

(x+1)² + y² = 9

x² + 2x + 1 + y² = 9

x² + 2x – 8 = 0

Dari kedua persamaan di atas, kita dapat menggunakan metode faktorisasi untuk menemukan x.

x² – 6x + 5 = 0

(x-5)(x-1) = 0

x = 5 atau x = 1

x² + 2x – 8 = 0

(x+4)(x-2) = 0

x = -4 atau x = 2

Dari sini, kita dapat mengetahui bahwa terdapat dua titik potong antara kedua lingkaran, yaitu (1, √3) dan (5, -√3).

Untuk lingkaran pertama dengan persamaan (x-3)² + y² = 4, turunan fungsinya adalah:

d/dx [(x-3)² + y² = 4]

2(x-3) + 2y(dy/dx) = 0

dy/dx = -(x-3)/y

Pada titik potong (1, √3), gradien garis singgung dapat dihitung dengan cara memasukkan nilai x dan y ke dalam persamaan di atas:

dy/dx = -(1-3)/√3 = 1/√3

Untuk lingkaran kedua dengan persamaan (x+1)² + y² = 9, turunan fungsinya adalah:

d/dx [(x+1)² + y² = 9]

2(x+1) + 2y(dy/dx) = 0

dy/dx = -(x+1)/y

Pada titik potong (1, √3), gradien garis singgung dapat dihitung dengan cara memasukkan nilai x dan y ke dalam persamaan di atas:

dy/dx =-(1+1)/√3 = -2/√3

Kita dapat menggunakan gradien garis singgung dan titik potong untuk menentukan persamaan garis singgung pada kedua titik potong. Persamaan garis adalah y = mx + c, di mana m adalah gradien garis dan c adalah konstanta.

Untuk titik potong (1, √3), persamaan garis singgung adalah:

y = (1/√3)x + c

Kita dapat menentukan nilai c dengan memasukkan koordinat titik potong ke dalam persamaan di atas:

√3 = (1/√3)(1) + c

c = 2√3/3

Sehingga persamaan garis singgung pada titik potong (1, √3) adalah:

y = (1/√3)x + 2√3/3

Untuk titik potong (5, -√3), persamaan garis singgung adalah:

y = (-2/√3)x + c

Kita dapat menentukan nilai c dengan memasukkan koordinat titik potong ke dalam persamaan di atas:

-√3 = (-2/√3)(5) + c

c = 5√3/3

Sehingga persamaan garis singgung pada titik potong (5, -√3) adalah:

y = (-2/√3)x + 5√3/3

Jadi, persamaan garis singgung persekutuan pada kedua lingkaran adalah:

y = (1/√3)x + 2√3/3 atau y = (-2/√3)x + 5√3/3.

Baca Juga: Pengertian, Sifat, dan Rumus Garis Singgung Lingkaran

Demikian contoh soal garis singgung persekutuan dalam yang dapat membantu pembaca untuk lebih memahami konsep perhitungan dalam lingkaran sebagai bangun datar dalam matematika. (NDA)