Pengertian Induksi Matematika beserta Rumus dan Contohnya
Penulis kumparan
·waktu baca 5 menit
Tulisan dari Berita Terkini tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarInduksi matematika adalah salah satu materi yang dipelajari siswa. Materi ini mempelajari tentang pernyataan berkaitan dengan bilangan bulat positif. Untuk lebih mendalami materi ini, sebaiknya ketahui lebih dulu pengertian induksi matematika.
Di sisi lainnya, dalam menghitung induksi matematika terdapat rumus yang biasa digunakan. Sedangkan contoh dapat memudahkan dalam perhitungan yang satu ini.
Pengertian Induksi Matematika
Dikutip dari buku Matematika Program IPA: 3B, Sri Kurnianingsih, dkk (2007), pengertian induksi matematika adalah pembuktian dari sejumlah pengamatan sederhana. Induksi matematika juga dapat dikatakan sebagai cara membuktikan hal khusus ke hal umum.
Langkah-langkah dalam pembuktian induksi matematika yakni:
Pembuktian rumus atau teorema untuk suatu nilai bilangan bulat positif n, biasanya nilai yang terkecil (membuktikannya beberapa nilai dari n).
Bukti bahwa jika rumus atau teorema yang dimaksud adalah benar untuk n = k, di mana k adalah suatu bilangan bulat positif, maka rumus atau teorema tersebut juga benar untuk n = k + 1.
Kesimpulan bahwa rumus atau teorema yang dimaksud adalah benar untuk semua nilai n yang lebih besar daripada bilangan bulat.
Rumus Induksi Matematika
Seperti yang dijelaskan di atas, rumus yang digunakan untuk menentukan induksi matematika yakni:
n = 1 untuk menunjukkan pernyataan yang benar.
n = k untuk mengasumsikan pernyataan benar.
n = k + 1 untuk menunjukkan pernyataan benar.
Contoh Induksi Matematika
Adapun contoh soal dari induksi matematika yakni:
1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 berlaku untuk setiap bilangan asli n.
Jawaban:
Rumus benar untuk n = 1, karena 1 = 1(1 + 1) / 2 = 2/2
Misalkan rumus berlaku untuk n = k, sehingga:
1 + 2 + 3 + … + k = k(k + 1) / 2 merupakan pernyataan yang benar …. (1)
Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1 atau
1 + 2 + 3 + … + k + k + 1 = (k + 1) (k + 1 + 1) / 2 .….(2)
Pernyataan (1)
1 + 2 + 3 + … + k = k(k + 1) / 2
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = k(k + 1) / 2 + (k + 1)
= (k + 1)(k/2 + 1)
= (k + 1) ( k + 2 / 2)
= (k + 1)(k + 2) / 2
= (k + 1)(k + 1 + 1) / 2 ….(2)
Jadi, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 berlaku untuk setiap bilangan asli n.
2. Buktikan bahwa pernyataan
1 / 1 . 3 + 1 / 3 . 5 + 1 / 5 / 7 + … + 1 / (2n - 1)(2n + 1) = n / 2n + 1 berlaku untuk setiap bilangan asli n.
Jawaban:
Rumus yang digunakan adalah n = 1, karena 1 / (2n - 1)(2n + 1) = n / 2n + 1
Misalkan rumus yang berlaku untuk n = k, maka”
1 / 1 . 3 + 1 / 3 . 5 + 1 / 5 / 7 + … + 1 / (2k - 1)(2k + 1) = k / 2k + 1 …(1)
Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1
1 / 1 . 3 + 1 / 3 . 5 + 1 / 5 / 7 + … + 1 / (2k - 1)(2k + 1) + 1 / (2k + 1)(2k + 3) = k + 1/ 2k + 3 ...(2)
Pernyataan (1)
1/ 1 . 3 + 1 / 3 . 5 + 1 / 5 / 7 + … + 1 / (2k - 1)(2k + 1) = k / 2k + 1
1/ 1 . 3 + 1 / 3 . 5 + 1 / 5 / 7 + … + 1 / (2k - 1)(2k + 1) + 1 / (2k + 1)(2k + 3)
= k / 2k + 1 + 1 / (2k + 1)(2k + 3)
= k (2k + 3) + 1 / (2k + 1)(2k + 3)
= 2k² + 3k + 1 / (2k + 1)(2k + 3)
= (2k + 1)(k + 1) / (2k + 1)(2k +3)
= k + 1 / 2k + 3 …(2)
Jadi, 1 / 1 . 3 + 1 / 3 . 5 + 1 / 5 / 7 + … + 1 / (2n - 1)(2n + 1) = n / 2n + 1 berlaku untuk setiap bilangan asli n.
Baca Juga: Langkah-Langkah Induksi Matematika Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasannya
Itulah penjelasan dari pengertian induksi matematika lengkap dengan rumus dan contohnya. Meskipun terlihat cukup sulit, namun jika dipelajari dan banyak berlatih, maka tidaklah akan mudah dalam mengerjakannya dalam materi ini.(MZM)