Barisan Geometri: Definisi, Rumus, dan Contoh Soal

Ilustrasi belajar rumus barisan geometri. Foto: Unsplash/@craftedbygc

Barisan geometri merupakan salah satu materi dalam pelajaran matematika untuk SMA. Barisan geometri tidak sama dengan barisan aritmatika.

Contoh barisan bilangan yang termasuk ke dalam barisan geometri adalah 2, 4, 8, 16. Contoh barisan bilangan tersebut tidak akan bisa diselesaikan dan mendapatkan polanya dengan barisan aritmatika.

Jika kamu memahami barisan geometri, maka pola dari bilangan tersebut akan terlihat. Cara menemukan pola barisan geometri adalah membandingkan dua suku yang berurutan, seperti 4/2 = 2, 8/4 = 2, dan 16/2 =2.

Hasil perbandingan dua suku berurutan di atas adalah 2 yang disebut dengan rasio. Barisan dengan rasio seperti barisan bilangan di atas disebut dengan barisan geometri.

Definisi Rumus Barisan Geometri

Ilustrasi belajar barisan geometri. Foto: Katerina Holmes via Pexels

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, setiap barisan bilangan yang memiliki rasio merupakan barisan geometri.

Secara matematika, barisan dan deret geometri adalah suatu barisan bilangan U1, U2, U3, ..., Un apabila memenuhi U2/U1 = U4/U3 = ... = Un/Un-1 = r, dengan r adalah rasio atau pembanding.

Pada suatu barisan bilangan geometri U1, U2, U3, .., Un dengan U1 adalah a dan rasio r, maka dapat ditulis dengan:

Jadi, rumus barisan geometri adalah Un = a.r^(n-1).

Contoh Soal Barisan Geometri

Ilustrasi soal barisan geometri. Foto: Pixabay

Beberapa contoh soal matematika mengenai barisan geometri tidaklah sulit dikerjakan. Berikut ini adalah contoh soal barisan dan deret geometri yang bisa dipahami.

Supaya kamu memahami materi dan konsep dari barisan geometri, mari perhatikan beberapa contoh soal berikut ini, dikutip dari Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional:

Contoh Soal 1

Berikut ini adalah barisan bilangan geometri 2, 8, 32, ... Maka, tentukan:

A. Suku pertama dan rasionya

B. Rumus suku ke-n, dan

C. U5

Penyelesaian:

Suku pertama dan rasionya

Suku pertama a = 2

Rasio r = 8/2 = 32/8 = 4

Rumus suku ke-n

Un = a.r^(n-1)

Un = 2.4^(n-1)

U5

Un = 2.4^(n-1)

U5 = 2.4^(5-1)

U5 = 2.4^4

U5 = 2.256

U5 = 512

Jadi, nilai suku ke-5 dari barisan geometri di atas adalah 512.

Contoh Soal 2

Jika diketahui barisan ke-5 adalah 48 dan suku ke-8 adalah 384, maka suku ke-4 pada barisan bilangan tersebut adalah?

Penyelesaian:

Barisan ke-5

U5 = a.r^(5-1) = 48

U4 = a.r^4 = 48

Suku ke-8

U8 = a.r^(8-1) = 384

U8 = a.r^7 = 384

Maka, U8/U5

(a.r^7) / (a.r^4) = 384 / 48

r^3 = 8

r = 2

Suku ke-5

r = U5/U4

U4 = U5/r

U4 = 48/2

U4 = 24

Jadi, suku ke-4 pada barisan bilangan geometri di atas adalah 24.

Contoh Soal 3

Pada 2015, wabah flu burung menyerang Indonesia dan beberapa peternak ayam mengalami kerugian karena banyaknya ayam yang mati.

Setiap 20 hari, jumlah ayamnya berkurang menjadi setengah. Setelah dua bulan, jumlah ayam yang tersisa adalah 200 ekor. Hitunglah jumlah ayam sebelumnya yang dimiliki peternak tersebut!

Penyelesaian:

- Un = 200

- r = 1/2

- n = 2 bulan / 20 hari = 60 hari / 20 hari = 3

Dengan menggunakan konsep barisan geometri, maka jumlah awal ayam pak Budi adalah

Un = a.r^(n-1)

U3 = a.(1/2)^(3-1)

200 = a.(1/2)^(2)

200 = a.(1/4)

200.4 = a

a = 800

Jadi, jumlah mula-mula ayam pak Budi adalah 800 ekor.

Baca Juga: 6 Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika dan Geometri

Jenis-Jenis Deret Geometri Tak Hingga

Ilustrasi mengerjakan soal deret geometri. Foto: Pexels

Secara umum, deret geometri tak hingga adalah penjumlahan dari suku-suku barisan geometri yang jumlah sukunya tak berhingga atau tidak berbatas.

Dikutip dari Target Nilai 10 UN SMA/MA IPS 2016 Sistem CBT oleh The King Eduka, dkk., (2015: 345-346), jenis-jenis deret geometri tak hingga terbagi menjadi dua macam, yaitu:

1. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen adalah deret geometri tak hingga yang memiliki jumlah tertentu atau limit jumlah (konvergen).

Keterangan:

S∞ = jumlah deret geometri tak hingga

a = suku pertama

r = rasio pertama

2. Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga yang divergen adalah deret geometri tak hingga yang tidak memiliki limit jumlah. Jumlah deret geomteri tak hingga yang divergen tidak dapat didefinisikan.

Deret divergen tidak mempunyai kecenderungan pada suatu nilai tertentu karena deret tersebut mempunyai nilai yang semakin membesar dan mengecil tanpa batas. Dengan demikian, jumlah deret geometri divergen tidak dapat dilakukan.

(NSF & SFR)