10 Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dan Kunci Jawabannya

Ilustrasi Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Unsplash.com/Roman Mager

Dalam pembelajaran Matematika di tingkat SMP maupun SMA, materi yang perlu dikuasai adalah pertidaksamaan linear dua variabel (PLDV). Oleh karena itu, bisa dipelajari lewat soal pertidaksamaan linear dua variabel.

Materi ini berhubungan erat dengan kehidupan sehari-hari. PLDV sering digunakan untuk menggambarkan masalah yang berkaitan dengan batasan atau syarat tertentu. Misalnya, dalam perencanaan keuangan, produksi, hingga penjadwalan.

Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dan Kunci Jawabannya

Ilustrasi Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Unsplash.com/Thomas T

Di bawah ini terdapat beberapa pembahasan tentang soal pertidaksamaan linear dua variabel yang disertai dengan kunci jawabannya, dirangkum dari Matematika Kelas X SMA/MA/SMK/MAK, Bornok Sinaga dkk, 2017, 37-38:

1. Manakah dari pernyataan di bawah yang benar? Berikan alasanmu.

a) Untuk setiap x bilangan real, berlaku |x| ≥ 0.

b) Tidak terdapat bilangan real x, sehingga |x| < -8.

c) |n| ≥ |m|, untuk setiap n bilangan asli dan m bilangan bulat.

Jawaban:

a) Benar. Karena definisi nilai mutlak |x| adalah jarak x ke nol sehingga selalu tidak negatif.

b) Benar. |x| selalu ≥ 0, tidak mungkin kurang dari negatif; maka |x| < -8 tidak mungkin.

c) Salah. Tidak selalu; contoh: n = 1 (bilangan asli) dan m = 100 (bilangan bulat), |n| = 1 < |m| = 100. Jadi pernyataan umum ini salah.

2. Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak berikut.

Gambar Soal No. 2

Jawaban:

a) |3 - 2x| < 4 ⇔ 4 < 3 - 2x < 4.

→ kiri: -4 < 3 - 2x ⇒ -7 < -2x ⇒ x < 7/2.

→ kanan: 3 - 2x < 4 ⇒ -2x < 1 ⇒ x > -½.

Jadi -½ < x < 7/2.

b) |x/2 + 5| ≥ 9 ⇔ x/2 + 5 ≥ 9 atau x/2 + 5 ≤ 9.

Kasus1: x/2 ≥ 4 ⇒ x ≥ 8.

Kasus2: x/2 ≤ -14 ⇒ x ≤ -28.

Jadi x ∊ (-∞, -28] ∪ [8, ∞).

c) |3x + 2| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ 3x + 2 ≤ 5.

→ kiri: -5 ≤ 3x + 2 ⇒ -7 ≤ 3x ⇒ x ≥ -7/3.

→ kanan: 3x + 2 ≤ 5 ⇒ 3x ≤ 3 ⇒ x ≤ 1.

Jadi -7/3 ≤ x ≤ 1.

d) 2 < |2 - x/2| ≤ 3. Pecah menjadi dua ketidaksamaan: |2 - x/2| > 2 dan |2 - x/2| ≤ 3.

Selesaikan |2 - x/2| ≤ 3 ⇔ -3 ≤ 2 - x/2 ≤ 3 ⇒ kiri: -3 ≤ 2 - x/2 ⇒ -5 ≤ -x/2 ⇒ x ≤ 10. kanan: 2 - x/2 ≤ 3 ⇒ -x/2 ≤ 1 ⇒ x ≥ -2.

Jadi dari bagian ≤ 3 kita punya -2 ≤ x ≤ 10.

Selanjutnya syarat |2 - x/2| > 2 ⇔ 2 - x/2 > 2 atau 2 - x/2 < -2.

Kasus1: 2 - x/2 > 2 ⇒ -x/2 > 0 ⇒ x < 0.

Kasus2: 2 - x/2 < -2 ⇒ -x/2 < -4 ⇒ x > 8.

Gabungkan dengan batas -2 ≤ x ≤ 10 → bagian yang memenuhi kedua syarat adalah -2 ≤ x < 0 dan 8 < x ≤ 10.

Jadi solusi: [-2. 0) ∪ (8. 10]

e) |x + 5| ≤ |1 - 9x|. Untuk menyelesaikan, kita kuadratkan atau pertimbangkan kasus tanda: setara degan (x + 5)2 ≤ (1 - 9x)2.

Hitung: (x + 5)2 ≤ (1 - 9x)2 ⇒ x2 + 10x + 25 ≤ 1 - 18x + 81x2 ⇒ 0 ≤ 80x2 -28x -24 ⇒ bagi 4: 0 ≤ 20x2 - 7x - 6.

Selesaikan persamaan kuadrat 20x2 - 7x - 6 = 0 → diskriminan ∆ = (-7)2 - 420(-6) = 49 + 480 = 529, √∆ = 23. Akar: x = 7+23/40. Jadi akar di x1 = 7-23/40 = -16/40 = -⅖ = -0,4 dan x2 = 7=23/40 = 30/40 = ¾ = 0,75. Parabola koef positif → ketidaknegatif di luar akar: x ≤ -0,4 atau x ≥ 0,75.

Jadi solusi (-∞, -0,4] ∪ [0,75, ∞).

3. Maria memiliki nilai ujian matematika: 79, 67, 83, dan 90. Jika dia harus ujian sekali lagi dan berharap mempunyai nilai rata-rata 81, berapa nilai yang harus dia raih sehingga nilai rata-rata yang diperoleh paling rendah menyimpang 2 poin?

Jawaban:

Jumlah nilai sekarang = 79 + 67 + 83 + 90 = 319.

Jika nilai ke-5 adalah s, rata-rata baru = (319 + s)/5.

Maria berharap rata-rata 81, dan diperbolehkan menyimpang sampai 2 poin → rata-rata akhir harus berada di interval [79, 83]. Jadi 79 ≤ 319+s/5 ≤ 83. Kali 5: 395 ≤ 319 + s ≤ 415. Maka 76 ≤ s ≤ 96.

Jadi nilai minimal yang harus diraih agar rata-rata menyimpang paling banyak 2 poin adalah s = 76. (Rentang nilai yang memenuhi: 76 sampai 96).

4. Sketsa grafik y = |3x - 2| - 1 untuk -2 ≤ X ≤ 5.

Jawaban:

Nilai nol dari bagian dalam: 3x - 2 = 0 ⇒ x = ⅔.

Untuk x < ⅔: y = -(3x - 2) - 1 = -3x + 1 (garis menurun).

Untuk x ≥ ⅔: y = 3x - 2 - 1 = 3x - 3 (garis menaik).

Titik pada batas: x = -2 →

y = | - 6 - 2| - 1 = 8 - 1 = 7.

x = ⅔ → y = 0 - 1 = -1.

x = 5 → y = |15 - 2| - 1 = 13 - 1 = 12.

Gambarkan potongan garis sesuai interval [-2, ⅔) dan [⅔, 5] dengan titik sambung (⅔, -1).

5. Sketsa grafik y = |x - 2| - |2x - 1| untuk x bilangan real.

Jawaban:

Titik kritis saat ekspresi di dalam sama dengan 0: x - 2 = 0 ⇒ x = 2; dan 2x - 1 = 0 ⇒ x = ½. Bagi garis real menjadi tiga interval: (-∞, ½), [½, 2), [2, ∞).

Jika x < ½:

y = -(x - 2) - ( - (2x - 1)) = -x + 2 - (-2x + 1) = -x + 2 + 2x - 1 = x + 1.

Jika ½ ≤ x < 2: x - 2 < 0 sehingga |x - 2| = 2 - x; 2x - 1 ≥ 0 sehingga |2x - 1| = 2x - 1. Maka y = (2 - x) - (2x - 1) = 2 - x - 2x + 1 = 3 - 3x.

Jika x ≥ 2: x -2 ≥ 0 dan 2x - 1 ≥ 0, sehingga y = (x - 2) - (2x - 1) = x - 2 - 2x + 1 = -x - 1.

Jadi fungsi segmen linear:

y = x + 1 untuk x < ½,

y = 3 - 3x untuk ½ ≤ x < 2,

y = -x - 1 untuk x ≥ 2.

Gambarkan ketiga ruas linear tersebut dengan sambungan pada x = ½ dan x = 2.

6. Hitung semua nilai x yang memenuhi kondisi berikut ini.

a) Semua bilangan real yang jaraknya ke nol adalah 10.

b) Semua bilangan real yang jaraknya dari 4 adalah kurang dari 6.

Jawaban:

a) |x - 0| = 10 ⇒ x = 10 atau x = -10.

b) |x - 4| < 6 ⇒ -6 < x - 4 < 6 ⇒ -2 < x < 10.

7. Level hemoglobin normal pada darah laki-laki dewasa adalah antara 13 dan 16 gram per desiliter (g/dL).

a) Nyatakan dalam suatu pertidaksamaan nilai mutlak yang merepresentasikan level hemoglobin normal untuk laki-laki dewasa.

b) Tentukan level hemoglobin yang merepresentasikan level hemoglobin tidak normal untuk laki-laki dewasa.

Jawaban:

a) jika x adalah level hemoglobin, kondisi normal: 13 ≤ x ≤ 16. Dalam bentuk nilai mutlak, pusat = 13+16/2 = 14,5 dan setengah-lebar = 1,5. Jadi |x - 14,5| ≤ 1,5.

b) Tidak normal: x < 13 atau x > 16. Dalam nilai mutlak: |x - 14,5| > 1,5.

8. Berdasarkan definisi atau sifat, buktikan |a - b| ≤ |a| + |b|.

Jawaban:

|a - b| = |a + (-b)| ≤ |a| + |-b| = |a| + |b|.

(Menggunakan ketaksamaan segitiga |u + v| ≤ |u| + |v|.) Jadi |a - b| ≤ |a| + |b|.

9. Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut ini dengan memanfaatkan garis bilangan.

Gambar Soal No. 9

Jawaban:

a) Pecah menurut titik kritis x = -2 dan x = 1. (Langkah ringkas:) Menguji interval:

Jika x ≤ -2: (|x+2|=-(x+2),|x-1)) → jumlah = -x - 2 - x + 1 = -2x - 1. Persyaratan 4 < -2x - 1 < 5 → selesaikan → interval -3 < x < -5/2. (Periksa batas; gabungkan langkah-langkah dan uji ujung.)

Jika -2 < x < 1: (|x+2|=x+2,|x-1}=-(x-1)) → jumlah = x + 2 - x + 1 = 3 → tidak memenuhi karena 3 tidak di antara 4 dan 5.

Jika x ≥ 1: (|x+2|=x+2,|x-1}=x-1) → jumlah = 2x + 1. Persyaratan 4 < 2x + 1 < 5 ⇒ 3/2 < x < 2. Jadi solusi gabungan: -3 < x < -5/2 atau 3/2 < x < 2.

(Perlu catatan: titik ujung harus diuji kembali; di atas adala interval hasil pemecahan)

b) |x - 2| ≤ |x + 1|. Kuadratkan atau gunakan analisis: setara dengan (x -2)2 ≤ (x + 1)2 ⇒ x2 - 4x + 4 ≤ x2 + 2x + 1 ⇒ -4x + 4 ≤ 2x + 1 ⇒ -3 ≤ 6x ⇒ x ≥ -½. Jadi solusi x ≥ -0,5.

c) |x| + |x + 1| < 2. Titik kritis x = 0 dan x = -1. Uji interval:

x < -1: (|x|=-x,|x+1}=-(x+1)) → sum = -x - x - 1 = -2x - 1 < 2 ⇒ -2x < 3 ⇒ x > -3/2. Bersilangan dengan x < -1 → -3/2 < x < -1.

-1 ≤ x < 0: (|x|=-x,|x+1}=x+1) → sum = -x + x + 1 =1 < 2 → semua x di [-1,0) memenuhi.

x ≥ 0: (|x|=x,|x+1}=x+1) → sum = 2x + 1 < 2 ⇒ 2x < 1 ⇒ x < ½. Jadi 0 ≤ x < ½. Gabungan solusi: -3/2 < x < ½.

10. Diketahui fungsi f(x) = 5 - 2x, 2 ≤ x ≤ 6. Tentukan nilai M sehingga |f(x)| ≤ M. Hitunglah P untuk |f(x)| ≥ P.

Jawaban:

Evaluasi di ujung interval: f(2) = 5 - 4 = 1. f(6) = 5 - 12 = -7. Fungsi linear f(x) melintasi nol saat x = 2,5 (karena 5 - 2x = 0 ⇒ x = 2,5). Jadi |f(x)| di interval mengambil nilai minimum 0 (pada x = 2,5) dan maksimum 7 (pada x = 6 karena |-7| = 7).

Maka M = 7. Untuk |f(x)| ≥ P, nilai P maksimum yang selalu dipenuhi oleh semua x adalah P = 0 (karena min |f| = 0). Jika maksud soalnya mencari nilai P sedemikian sehingga |f(x)| ≥ P untuk semua x dalam domain, maka P ≤ 0; ambil P = 0 sebagai nilai konkret.

Menyelesaikan soal pertidaksamaan linear dua variabel sangat membantu siswa dalam melatih kemampuan berpikir logis dan sistematis. Selain itu, soal-soal ini membantu mengasah keterampilan siswa dalam pemecahan masalah. (Aya)