12 Contoh Soal Fungsi Komposisi, Jawaban, dan Pembahasannya
Menyajikan beragam informasi terbaru, terkini dan mengedukasi.
·waktu baca 8 menit
Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan
PerbesarContoh soal fungsi komposisi melibatkan penggabungan dua atau lebih fungsi untuk membentuk fungsi baru. Fungsi komposisi dinotasikan sebagai (f . g) (x) = f (g (x)).
Dikutip dari repositori.kemdikbud.go.id, Modul Matematika Umum Kelas X KD, Sutisna, 2022, fungsi komposisi artinya nilai dari g (x) yang dimasukkan ke dalam fungsi f (x).
Daftar isi
Daftar isi
Daftar isi
Pengertian Fungsi Komposisi
Sebelum membahas contoh soal fungsi komposisi, pahami pengertian fungsi ini terlebih dahulu. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi untuk membentuk fungsi baru, dimana output dari satu fungsi menjadi input dari fungsi lainnya.
Jika terdapat dua fungsi f (x) dan g (x), maka komposisi dari f dan g dinotasikan sebagai (f . g) (x) = f (g (x)).
Notasi dan cara membacanya yaitu: (f . g) (x): Dibaca "f komposisi g pada x". Maknanya fungsi g (x) dihitung terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam fungsi f (x).
Sebaliknya, (g . f) (x) = g (f (x)), artinya fungsi f (x) dihitung terlebih dahulu, lalu hasilnya menjadi input fungsi g (x).
Beberapa syarat dari fungsi komposisi yaitu:
Domain fungsi g (x) harus sesuai dengan domain fungsi f, yaitu nilai g (x) harus berada dalam domain f (x).
Kedua fungsi harus terdefinisi dengan baik pada nilai x yang diberikan.
Sifat-Sifat Fungsi Komposisi
Beberapa sifat fungsi komposisi yaitu:
1. Tidak Komutatif
(f . g) (x) = (g . f) (x) kecuali dalam kasus tertentu.
2. Asosiatif
(f . (g . h)) (x) = ((f . g) . h) (x).
3. Identitas Komposisi
Jika terdapat fungsi identitas I (x) = x, maka:
(f . I) (x) = f(x) dan (I . f) (x) = f (x).
Contoh teori komposisi fungsi secara umum misalnya:
f (x) = 2x + 1
g (x) = x2 - 4
Komposisi f . g:
(f . g) (x) = f (g(x)) = f(x2 - 4).
f(x2 - 4) = 2(x2 - 4) + 1 = 2x2 - 8 + 1 = 2x2 - 7.
Jadi, (f . g) (x) = 2x2 - 7.
Komposisi fungsi sebaliknya yaitu:
Komposisi g . f:
(g . f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 1).
g (2x + 1) = (2x + 1)2 - 4.
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1, jadi g(2x + 1) = 4x2 + 4x + 1 - 4 = 4x2 + 4x - 3.
Jadi, (g . f) (x) = 4x2 + 4x - 3.
Penerapan fungsi komposisi bisa diaplikasikan pada:
Matematika murni: menyederhanakan perhitungan fungsi kompleks.
Ilmu komputer: menggabungkan algoritma atau fungsi pemrograman.
Fisika dan teknik: menghitung fungsi yang saling terkait, seperti transformasi koordinat.
Ekonomi: menganalisis fungsi biaya, pendapatan, dan laba secara bersamaan.
Fungsi komposisi merupakan konsep fundamental dalam matematika yang digunakan untuk membangun fungsi yang lebih kompleks dari fungsi dasar.
Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Jawabannya
Berikut ini terdapat deretan contoh soal fungsi komposisi dalam matematika yang dilengkapi dengan jawabannya:
Soal 1
Diketahui f (x) = 2x + 3 dan g (x) = x - 1
Tentukan (f . g) (x) dan (g . f) (x)
Pembahasan:
(f . g) (x) = f (g (x)) = f (x - 1) :
f (x - 1) = 2 (x - 1) + 3 + 2x - 2 = + 3x + 1.
Jadi, (f . g) (x) = 2x +1.
(g . f) (x) = g = (f (x)) = g (2x + 3):
g (2x + 3) = (2x + 3) - 1 = 2x + 2.
Jadi, (g . x) (x) = 2x + 2.
Soal 2
Diketahui f (x) = x2 + 1 dan g (x) = x - 1.
Tentukan (f . g) (x).
Pembahasan:
(f . g) (x) = f (g (x)) = f (x - 1):
f (x - 1) = (x -1) + 1 = x-1 + 1 = x.
Jadi, (f . g) (x) = x.
Soal 3
Jika f (x) = 3x + 4 dan g (x) = x-4/3, tunjukkan bahwa (f . g) (x) = x.
Pembahasan:
(f . g) (x) = f (g (x)) = f (x -4/3):
f (x - 4/3) = 3 (x - 4/3) + 4 = x -4 + 4 = x.
Jadi, (f . g) (x) = x.
Soal 4
Diketahui f (x) = 2x dan g (x) = x2.
Tentukan (g . f) (x).
Pembahasan:
(g . f) (x) = g (f (x)) = g (2x):
g (2x) = (2x)2 = 4x2.
Jadi, (g . f) (x) = 4x2.
Soal 5
Diketahui f (x) = x3 dan g (x) = 3x + 1.
Tentukan (f . g) (2).
Pembahasan:
(f . g) (2) = f (g (2)):
g (2) = 3 (2) + 1 = 7.
f (7) = 73 = 343.
Jadi, (f . g) (2) = 343
Soal 6
Jika f (x) = x + 2 dan g (x) = 5x, tentukan (f .g) (x) dan (g . f) (x).
Pembahasan:
(f . g) (x) = f (g (x)) = f (5x):
f (5x) = 5x + 2.
Jadi, (f . g) (x) = 5x + 2.
(g . f) (x) = g (f (x)) = g (x +2):
g (x + 2) = 5 (x + 2) = 5x + 10.
Jadi, (g . f) (x) = 5x + 10.
Soal 7
Diketahui f (x) = 1/x dan g (x) = x + 1. Tentukan (f . g) (x).
Pembahasan:
(f . g) (x) = f (g (x)) = f (x + 1):
f (x + 1) = 1/x + 1.
Jadi, (f . g) (x) = 1/x + 1.
Soal 8
Jika f (x) = 2x2 - 1 dan g (x) = x - 2, tentukan (g . f) (x).
Pembahasan:
(g . f) (x) = g (f (x)) = g (2x2 - 1):
g (2x2 - 1) = (2x2 - 1) - 2 = 2x2 - 3.
Jadi, (g . f) (x) = 2x2 - 3.
Soal 9
Diketahui f (x) = x2 + x dan g (x) = 2x - 1. tentukan (f . g) (x).
Pembahasan:
(f . g) (x) = f (g (x)) = f (2x - 1):
f (2x -1) = (2x - 1)2 + (2x -1):
(2x - 1)2 = 4x2 - 4x + 1, sehingga f (2x - 1) = 4x2 - 4x + 1 + 2x -1 = 4x2 - 2x.
Soal 10
Diketahui f (x) = x dan g (x) = x2 + 4x + 4. Tentukan (f . g) (x).
Pembahasan:
(f . g) (x) = f (g (x)) = f (x2 + 4x + 4):
f (x2 + 4x + 4) = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 = | x + 2 | .
Jadi, (f . g) (x) = | x + 2 | .
Soal 11
Diketahui fungsi f (x) = 2x + 3 dan g (x) = x2 - 1. Tentukan:
(f . g) (x)
(g . f) (x)
Penyelesaian:
(f . g) (x) = f (g (x)) = f (x2 - 1)
Substitusi x2 - 1 ke f (x):
f(x2 - 1) = 2(x2 - 1) + 3 = 2x2 - 2 + 3 = 2x2 + 1
(g . f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 3)
Substitusi 2x + 3 ke g (x):
g(2x + 3) = (2x + 3)2 - 1 = 4x2 + 12x + 9 - 1 = 4x2 + 12x + 8
Soal 12
Diketahui f (x) = x + 4 dan g (x) x. Hitung nilai:
(f . g) (16)
(g . f) (12)
Penyelesaian:
(f . g) (16) = f (g (16)):
g (16) = 16 = 4 dan f (4) = 4 + 4 = 8
(g . f) (12) = g (f (12)):
f(12) = 12 + 4 = 16 dan g (16) = 16 = 4
Catatan Penting:
Komposisi (f . g) (x) tidak selalu sama dengan (g . f) (x).
Perhatikan urutan substitusi fungsi agar tidak salah menghitung.
Implementasi Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan kompleks yang melibatkan beberapa proses berurutan. Berikut beberapa implementasinya:
1. Teknologi dan Pemrograman
Dalam dunia teknologi, fungsi komposisi digunakan untuk merancang algoritma. Misalnya, dalam pengolahan data citra:
Fungsi digunakan untuk mengubah warna gambar menjadi skala abu-abu.
Fungsi digunakan untuk meningkatkan kontras gambar.
Dengan komposisi, gambar diubah menjadi skala abu-abu terlebih dahulu, lalu tingkat kontrasnya disesuaikan.
2. Ekonomi dan Keuangan
Dalam perhitungan pendapatan perusahaan, terdapat beberapa tahapan:
Fungsi menghitung jumlah unit produk yang terjual berdasarkan harga.
Fungsi menghitung total pendapatan berdasarkan jumlah unit yang terjual.
Fungsi komposisi digunakan untuk langsung menghitung pendapatan berdasarkan harga produk.
3. Fisika dan Teknik
Dalam sistem mekanik atau elektronik, fungsi komposisi digunakan untuk menganalisis input dan output perangkat. Contohnya, dalam rangkaian elektronik:
Fungsi menghitung arus listrik berdasarkan tegangan.
Fungsi menghitung daya listrik berdasarkan arus.
Fungsi komposisi digunakan untuk menghitung daya langsung dari tegangan.
4. Transportasi dan Logistik
Fungsi komposisi membantu merencanakan perjalanan. Misalnya:
Fungsi menghitung waktu perjalanan dari satu kota ke kota lain.
Fungsi menghitung biaya perjalanan berdasarkan waktu.
Fungsi komposisi langsung menentukan biaya berdasarkan jarak perjalanan.
Dari contoh soal fungsi komposisi di atas, hal ini memungkinkan proses yang kompleks tentu dapat dipecah menjadi langkah-langkah sederhana. Hal ini lalu digabungkan untuk efisiensi analisis matematika. (Win)